December 28, 2014

Pray For Air Asia


Gambar dibuat menggunakan GeoGebra
Pesawat AirAsia QZ8501 jurusan Surabaya-Singapura hilang kontak di antara Belitung Timur dan Pulau Kalimantan pada hari ini, 28 Desember 2014 Pukul 06.24 WIB (sumber detik.com). Pesawat ini membawa total 155 penumpang dan kru. Musibah memang tidak ada yang menginginkan, namun jika sudah terjadi kita hanya mampu pasrah kepada yang maha kuasa dengan tidak lupa berusaha untuk melakukan penyelamatan.

Sebagai sesama manusia marilah kita berdoa agar kejelasan nasib para penumpang segera dapat diperoleh. Kepada para keluarga semoga diberi ketabahan. Semoga yang maha kuasa memberikan jalan terbaiknya kepada kita semua. Aamiin....

December 27, 2014

Aturan L’Hospital

Grafik berikut merupakan gambar dari fungsi
$ f(x)=\frac{ln x}{x-1}$


Pada saat x = 1, diperoleh
$ f(1)=\frac{ln(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$
Sedangkan pada gambar terlihat bahwa nilai fungsi pada saat x = 1 adalah 1. Selanjutnya mengapa terjadi yang demikian?
Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep limit. Pada saat nilai x = 1 disubstitusikan ke fungsi hasilnya adalah tak tentu, maka nilai pendekatan 1 dapat dijadikan solusi untuk menyelesaikannya.

Hal ini berarti
$\lim_{ x \to 1 }f(x)=\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}$
Nilai dari limit ini tidak dapat dicari dengan cara biasa. Namun tekhnik penyelesaian limit dengan pemfaktoran maupun dengan pendekatan geometri juga tidak dapat digunakan juga. Oleh karenanya diperlukan tekhnik penyelesaian limit yang lain. Tekhnik penyelesaian ini dikenal dengan aturan l'Hospital. Dalam buku Calculus Concepts dituliskan sebagai berikut:

Sehingga nilai limit dari permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara:
$\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{\frac{1}{x}}{1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{1}{x}=1 $
Dengan menggunakan GeoGebra penyelesaian limit tersebut diperoleh nilai yang sama yaitu 1, seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Sedangkan jika perhitungan langsung menggunakan f(1) tanpa limit, pada Geogebra menghasilkan value "undefined". Hal ini sepertinya sangat tidak masuk akal, pada saat fungsi tersebut diinputkan langsung akan terbentuk grafik yang kontinyu pada titik x = 1, namun saat titik x = 1 diinputkan langsung menghasilkan bentuk yang tidak tentu, maka solusi limit dapat digunakan untuk menjelaskan kejadian ini, sehingga pada saat x mendekati 1 maka nilai fungsinya adalah 1. Hal ini mungkin sekali terjadi pada bentuk-bentuk fungsi yang lain. Oleh karena itu jika hal ini ditemukan maka perlu diselesaikan dengan limit, dan penyelesaian limit salah satunya dapat menggunakan dalil l'Hospital.

Referensi
Buku "Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change" Edisi ke lima.

December 25, 2014

Mengenal Perintah "Curve" Pada GeoGebra (2)

Pada tulisan sebelumnya telah dibahas perintah curve yang memuat dua ekspresi matematika, kali ini pembahasan memfokuskan pada perintah yang kedua. Perintah ini mempunyai format standar sebagai berikut:
Curve[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]

Perintah di atas memuat 3 ekspresi yang dapat diisi oleh ekspresi matematika sesuai dengan tujuan grafik apa yang ingin divisualisasikan. Perintah kedua ini memiliki 4 komponen utama seperti halnya perintah yang sebelumnya, yaitu Curve, Expression, Parameter Variable dan Value. Curve merupakan perintah yang mengeksekusi program untuk membuat sebuah kurva. Expression merupakan keadaan apa yang akan digambarkan, misalnya bentuk lengkung atau garis. Selanjutnya pada form Parameter Variable memberikan kebebasan kepada kita untuk membuat variabel apa yang akan digunakan, misal a, b, c dan sebagainya (kecuali x, y dan z). Form Value memberikan batasan daerah yang akan digambar. Yang membedakan dengan perintah sebelumnya ada pada jumlah ekspresi matematika yang dapat dibuat.

Pada perintah sebelumnya hanya memuat 2 ekspresi matematika (mewakili x dan y). Perintah kedua ini mempunyai 3 ekspresi matematika (mewakili x, y dan z), sehingga visualisasi dari grafiknya dapat dilihat menggunakan perspektif 3 dimensi. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1
Curve[a, sin(a), cos(a), a, 0,  2π ]
Perintah tersebut akan menghasilkan sebuah spiral yang searah dengan sumbu x
Pada contoh ini memuat 3 ekspresi yang masing-masing berurutan mewakili sumbu x, y dan z. Apabila ekspresi dipindahkan ke z maka spiral yang terbentuk akan searah dengan sumbu z.

Contoh 2
Curve[sin(a), cos(a), a, a, 0,  2π ]

Perintah curve selain  digunakan secara mandiri dapat juga dikomposisikan dengan perintah lain. Komposisi perintah ini akan menghasilkan sebuah grafik yang cukup menarik. Perpaduan/komposisi perintah dalam GeoGebra akan dimuat dalam tulisan berikutnya.
Untuk pemahaman tentang perintah curve ini, silahkan mencoba dengan bentuk-bentuk yang lain misalnya Curve[t, t^2, t^3, t, -2, 2] . Selamat mencoba.

Referensi:

December 24, 2014

Mengenal Perintah "Curve" Pada GeoGebra (1)

Curve atau Kurva menurut kamus besar Bahasa Indonesia merupakan grafik yang menggambarkan variabel yang dipengaruhi oleh suatu keadaan.Grafik tersebut dapat berupa lengkungan maupun garis. Keadaan ini dipengaruhi dari keadaan apa dan bagaimana yang akan digambarkan.

Menggunakan GeoGebra, hanya dengan beberapa klik saja kurva sudah dapat terbentuk . Namun demikian, GeoGebra memberikan perintah khusus untuk membuat kurva tersebut. Perintah kurva yang ada dalam Geogebra digunakan untuk perspektif 2 dimensi (sumbu x dan y) dan perspektif 3 dimensi (sumbu x, sumbu y dan sumbu z).

Perintah untuk membuat kurva pada dasarnya ada 2. Perintah tersebut menggunakan format umum penulisan sebagai berikut:
  1. Curve[ <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
  2. Curve[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
Perintah nomor 1 dapat dipilih untuk membuat kurva untuk perspektif 2 dimensi (sumbu x dan sumbu y). Perintah tersebut mengandung 4 komponen utama, yaitu  Curve, Expression, Parameter Variable dan Value. Curve merupakan perintah yang mengeksekusi program untuk membuat sebuah kurva. Expression merupakan keadaan apa yang akan digambarkan, misalnya bentuk lengkung atau garis. Selanjutnya pada form Parameter Variable memberikan kebebasan kepada kita untuk membuat variabel apa yang akan digunakan, misal a, b, c dan sebagainya (kecuali x, y dan z). Form Value memberikan batasan daerah yang akan digambar.

Perhatikan contoh berikut:
  • Curve[a, a^2, a, -1, 2]. Perintah ini akan menghasilkan gambar seperti berikut:
  • Curve[t^3, t, t, -1, 2]. Perintah ini akan menghasilkan gambar:

Dua contoh tersebut dapat dibandingkan dengan format dasarnya sebagai berikut:

Curve[ <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ].
Curve[a, a^2, a, -1, 2]

Expression pertama adalah a
Expression kedua adalah a^2 
Berarti gambar akan berbentuk parabola dan dibuat berdasarkan nilai a yang akan diberikan nanti.

Parameter Variable adalah  a.
Variabel yang diisikan harus sama dengan form expression, karena jika berbeda form expession tidak dapat dijalankan seperti yang dikehendaki.

Value dimulai pada -1 dan diakhiri 2.
Hal ini memberikan petunjuk bahwa gambar yang akan digambar berada pada interval -1 sampai dengan 2.

Sebagai latihan memahami perintah curve pada gambar kedua, pembaca dapat juga melakukan analisisnya secara mandiri.

Selanjutnya perintah curve yang kedua dibahas pada tulisan berikutnya.

December 23, 2014

Sinus Sudut Berelasi

Matematika berkembang sejalan dengan keperluan manusia dalam menyelesaikan masalah yang dihadapinya. Awalnya matematika merupakan bentuk-bentuk sederhana yang digunakan secara praktis, namun seiring dengan perkembangan peradaban manusia matematikapun berkembang, bahkan dapat juga dikatakan bahwa sebagian perkembangan peradaban manusia merupakan buah pikir dari pengkajian matematika itu sendiri.

Pengkajian segitiga siku-siku yang merupakan pengembangan bentuk geometri awalnya digunakan untuk keperluan praktis menghitung sisi-sisi segitiga, namun saat ini sudah berkembang pada trigonometri yang digunakan sebagai dasar penerapan praktis dalam tekhnik bangunan, arsitektur, ilmu pelayaran, astronomi dan pengembangan ilmu-ilmu lainnya.

Perbandingan sisi pada segitiga siku-siku memiliki besar yang tetap dan berelasi dengan sudut yang dibentuk, tidak masalah di mana pun sudut itu ditemukan. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang berelasi dengan sudutnya kemudian dikenal dengan istilah fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus dan tangen (ensiklopedia matematika).

Karena nilai sudut selalu sama di mana pun tempatnya, maka perbandingan pada fungsi trigonometri pun berkembang bukan hanya pada besar sudut yang berada pada sebuah segitiga siku-siku saja. Walaupun demikian ternyata perbandingan sudut tersebut masih mempunyai relasi dengan sudut  pada segitiga siku-siku. Yang membedakan hanyalah nilai perbandingannya, dapat bernilai positif maupun negatif.

Sebagai contoh, untuk memahami perbandingan fungsi trigonometri sudut berelasi mari kita lihat pada fungsi sinus. Untuk membantu memahami sudut berelasi perbandingan sinus digunakan lingkaran satuan yang dibuat menggunakan GeoGebra.

Pada lingkaran satuan tersebut, menurut perbandingan fungsi sinus bahwa
$ sin \alpha = \frac {y}{r}$
Karena nilai y positif maka pada kuadran I, nilai sinus adalah positif.
Dengan memindahkan titik B pada kuadran kedua dapat terlihat bahwa nilai sinus positif.
Berbeda pada kuadran ketiga dan keempat terlihat bahwa nilai sinus negatif.

Agar dapat lebih jelas dalam memahaminya silahkan diunduh file GeoGebranya di SINI
Pengetahuan tentang nilai sinus pada masing-masing kuadran dapat bermanfaat pada bidang-bidang lain yang berhubungan dengan konsep trigonometri, khususnya fungsi sinus. Dengan demikian kita dapat memahami bahwa perbandingan fungsi trigonometri dapat dikembangkan ke berbagai bidang tidak hanya pada nilai sudut yang ada pada segitiga siku-siku belaka.

December 22, 2014

Mengkonstruksi Segitiga Sama Sisi

Gambar pada GeoGebra dikenal adanya gambar bebas dan gambar konstruksi. Gambar bebas adalah gambar/grafik yang tidak mempunyai kaitan atau hubungan dengan gambar lain, sedangkan gambar konstruksi dapat diartikan sebagai gambar yang pembuatannya berhubungan dengan gambar yang lain. Untuk membuat segitiga sama sisi dapat digunakan dua cara tersebut, yaitu sebagai gambar bebas maupun gambar konstruksi.

Untuk membuat segitiga sama sisi yang merupakan jenis gambar bebas digunakan tool regular polygon, sedangkan untuk gambar konstruksi segitiga sama sisi digunakan dua buah lingkaran yang mempunyai jari-jari yang sama panjangnya dan saling melalui titik pusatnya.
Setelah itu ditentukan titik potong antara kedua lingkaran tersebut.
Selanjutnya dari tool polygon, hubungkan tiga buah titik pada lingkaran dan melalui kedua pusat lingkaran tersebut.
Dari gambar yang terbentuk sangat jelas bahwa segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi, kenapa demikian? Ya, karena sisi-sisi pada segitiga tersebut adalah jari-jari lingkaran dari masing-masing lingkaran yang ada, sedangkan telah diketahui bahwa lingkaran yang digunakan mempunyai jari-jari yang sama panjangnya.
Setelah itu lingkaran yang digunakan untuk membuat konstruksi segitiga tersebut, disembunyikan dengan tujuan agar yang terlihat hanya segitiga hasil konstruksi saja.
Demikianlah cara membuat segitiga dengan menggunakan software GeoGebra. Sekarang dapat terlihat perbedaan antara segitiga sama sisi yang dibuat dengan cara biasa dan dengan cara konstruksi. Silahkan pembaca mencoba dengan cara yang dituliskan pada blog ini, kemudian cobalah untuk mencari cara lain untuk mengkonstruksi segitiga sama sisi tersebut.
Selamat mencoba dan jangan lupa saksikan video tutorialnya di bawah ini.



December 21, 2014

Membagi Rusuk Kubus Menjadi Tiga Bagian

Kubus adalah salah satu bangun ruang platonik yang cukup istimewa. Pada ujian nasional kubus menempati posisi yang cukup dominan muncul menjadi permasalahan yang ditanyakan. Salah satu hal yang dapat dipelajari menggunakan GeoGebra adalah bagaimana menentukan titik pada salah satu rusuk kubus yang letaknya 1/3 bagian dari rusuk tersebut. Kondisi ini sama halnya kita harus membagi rusuk kubus tersebut menjadi tiga bagian ruas garis yang sama panjangnya. Untuk menentukan posisi titik tersebut dengan menggunakan GeoGebra dapat digunakan beberapa langkah yang dapat mengkonstruksi titik tersebut.

Kenapa langkah konstruksi diperlukan untuk menentukan titik-titik tersebut? Ya salah satu alasannya adalah agar kita dapat melatih logika geometri kita. Misalnya kita akan menentukan sebuah titik yang terletak diantara titik A dan Titik E sehingga kedudukan titik tersebut berada pada 1/3 bagian ruas garis AE tersebut.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
  1. Pada GeoGebra gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH.
  2. Buat diagonal ruang yang menghubungkan antara titik E dan C.
  3. Buat garis yang tegak lurus ruas garis tersebut dan melalui titik A.
  4. Tentukan titik potong garis tersebut dengan diagonal ruang yang tadi.
  5. Buat sebuah garis yang sejajar dengan diagonal sisi EG atau AC dan melalui titik potong garis pada langkah 4.
  6. Tentukan titik potong antara garis pada langkah 5 dengan ruas garis AE.
  7. Cari titik tengah antara titik tersebut dengan titik A, maka terbentuklah dua titik yang membagi rusuk kubus tersebut menjadi tiga ruas bagian yang sama panjang.
  8. Hilangkan garis bantu dan titik bantunya.

 Demikianlah cara menentukan posisi titik yang dapat membagi sebuah rusuk kubus dapat terbagi menjadi tiga ruas garis yang sama panjangnya. Selamat mencoba

December 19, 2014

Konstruksi Bangun Ruang

Penggunaan media matematika akan membantu memberikan kemudahan dalam memahami konsep-konsep matematika. Konsep matematika akan semakin bermakna jika konsep tersebut dipelajari menggunakan cara-cara yang lebih dekat dalam kehidupan nyata. Peran media untuk menjebatani antara konsep matematika dan kehidupan nyata sehingga konsep yang dipelajari menjadi lebih bermakna sangatlah penting. Media hanyalah sebuah alat, dimana alat tersebut tidak akan bermanfaat jika yang menggunakannya belum ahli atau belum paham kegunaan alat tersebut. Demikian juga dengan GeoGebra, Geogebra tidak akan berfungsi maksimal untuk digunakan sebagai media jika user/pengguna GeoGebra tersebut belum mampu menggunakannya.

Seorang guru matematika dapat menyuguhkan sebuah pengalaman belajar yang berbeda bagi siswanya dengan memberikan sebuah rancangan pembelajaran dengan menggunakan GeoGebra sehingga siswa dapat belajar konsep matematika dengan lebih bermakna sekaligus mengasah kemampuan/keahliannya menggunakan GeoGebra.

Penugasan untuk membuat sebuah konstruksi rumah dengan menggunakan GeoGebra dapat dijadikan sarana untuk melatih siswa belajar dan menggunakan konsep-konsep geometri. Pembuatan konstruksi rumah memerlukan berbagai hubungan dalam geometri, geometri ruang maupun datar. Siswa diberikan kebebasan kreasi untuk membuat konstruksi rumah yang diidamkan. Setelah selesai siswa diharapkan menceritakan konsep matematika apa saja yang digunakan untuk membuatnya.
Contoh ringan dapat dilihat sebagai berikut

December 10, 2014

Membuat Animasi GIF Jaring-Jaring Kubus

Situs wikipedia menuliskan bahwa Graphics Interchange Format (GIF) merupakan format grafis yang paling sering digunakan untuk keperluan desain website. GIF memiliki kombinasi warna lebih sedikit dibanding JPEG, namun mampu menyimpan grafis dengan latar belakang (background) transparan ataupun dalam bentuk animasi sederhana. Sebagai contoh sederhana, dibawah ini adalah gambar dengan format GIF yang dapat bergerak ketika dibuka dengan browser.
Selain digunakan untuk keperluan desain website, format GIF saat ini biasanya digunakan juga  dalam slide power point sebagai animasi bergerak, sehingga tampilan slide menjadi lebih hidup.

Untuk membuat animasi bergerak dengan format GIF dapat digunakan beberapa software grafis yang ada saat ini, misalnya macromedia dan photoshop. Selain itu banyak pilihan software lain yang dapat digunakan, salah satunya adalah GeoGebra. GeoGebra merupakan software untuk matematika sehingga bagi pengguna yang ingin mendesain gambar bergerak yang berhubungan dengan matematika dapat memanfaatkan software.


Untuk membuat gambar bergerak dengan GeoGebra, maka yang perlu disiapkan adalah slider. Slider ini berfungsi sebagai acuan gambar dalam beranimasinya. Sehingga gambar yang tidak dikonstruksi dengan slider maka gambar tersebut tidak dapat dikonversi ke format GIF.

Sebagai bahan untuk belajar, kita dapat menyaksikan tutorial bagaimana cara membuat animasi gif pada jaring-jaring kubus seperti tampilan di atas. Video tutorialnya dapat disaksikan berikut ini:

December 4, 2014

Stereo Images


Perpaduan dua polihedron yang sama akan menghasilkan sebuah polihedron baru yang cukup menarik. Dengan sedikit berkreasi menggunakan GeoGebra kita dapat membuat sebuah polihedron di atas. Bagi yang tertarik untuk berkreasi membuat berbagai perpaduan dua polihedron yang sama dapat berlatih dengan menggunakan polihedron sederhana terlebih dahulu, misalnya seperti gambar di atas yang merupakan perpaduan antara dua tetrahedron dengan ukuran yang sama.
Selamat mencoba!

December 1, 2014

Polihedron Kecil

Dalam Ensiklopedia Matematika disebutkan bahwa atom-atom didalam molekul-molekul seringkali tersusun dalam bangun-bangun tiga dimensi yang beraturan.
Model ini menampilkan metan. Empat atom hidrogen, di sini berwarna biru, membentuk tetrahedron beraturan mengelilingi atom karbon pusat yang berwarna merah.

Model tersebut dapat dibuat menggunakan GeoGebra. Bagaimana membuatnya....? Silahkan mencobanya sebagai latihan untuk menggunakan GeoGebra.

November 30, 2014

Bangun Ruang Platonik

Para penganut Pythagoras di zaman Yunani kuno menemukan bahwa beberapa polihedron dapat dimasukkan secara tepat dalam satu bola. Bangun-bangun ruang ini mempunyai muka yang seluruhnya berupa bangun beraturan.


Kaum Pythagorean menyebutnya bangun-bangun yang sempurna. Bangun ruang sempurna paling sederhana yang mereka amati adalah kubus. Bangun-bangun ruang sempurna lainnya adalah tetrahedron beraturan, oktahedron beraturan, dodekahedron beraturan dan ikosahedron beraturan. Kelima bangun ruang ini saat ini dikenal dengan nama bangun ruang Platonik.
Menggunakan GeoGebra bangun ruang Platonik tersebut dapat dibuat seperti gambar di bawah ini.
Icosahedron
Tetrahedron


Kubus


Dodecahedron

Octahedron
Menggunakan GeoGebra kelima bangun tersebut jaring-jaringnya dapat dibuat hanya dengan sebuah klik, seperti gambar di bawah ini.
Dodekahedron dengan Jaring-Jaringnya

Jaring-Jaring Oktahedron
Selamat mencoba!

November 28, 2014

Lingkaran SIM

Lingkaran SIM adalah permainan untuk dua orang yang seolah-olah mudah. Sebuah lingkaran digambar, dan enam titik yang berjarak sama diletakkan pada keliling kingkaran itu. Setiap pemain memakai bolpoin yang warnanya berlainan. Pemain-pemain bergiliran membuat garis yang menghubungkan dua titik mana saja pada lingkaran tadi. Mereka jangan sampai membentuk sebuah segitiga dalam warna mereka, jika demikian mereka kalah.
Lingkaran SIM
Dengan GeoGebra permainan ini dapat pula dimainkan, bagaimana penasaran memainkannya? silahkan mencoba....
(sumber: ensiklopedi matematika dan perdaban dunia)

November 27, 2014

Teorema Euler

Leonhard Euler (1701-1783) menyatakan bahwa di dalam sembarang polihedron terdapat hubungan antara banyaknya titik sudut ruang (T), banyaknya rusuk (R) dan banyaknya sisi (S) dengan hubungan T - R + S = 2.

Menggunakan GeoGebra kita dapat membuat berbagai polihedron yang diinginkan. Sebagai contoh di bawah ini ada beberapa polihedron yang dibuat menggunakan Geogebra.
Polihedron 1
 Pada gambar polihedron 1, terdapat 24 titik sudut ruang, 48 rusuk dan 26 sisi. Maka menurut Euler 24 - 48 + 26 = 2.
Polihedron 2

 Sedangkan pada gambar polihedron 2 mempunyai 4 titik sudut ruang, 6 rusuk dan 4 sisi, maka menurut Euler 4 - 6 + 4 = 2.
Polihedron 3
Pada gambar polihedron 3 mempunyai 6 titik sudut ruang, 12 rusuk dan 8 sisi, maka menurut Euler 6 - 12 + 8 = 2.

Menarik bukan? Silahkan mencoba dengan polihedron yang lain, apakah masih tetap mempunyai hubungan yang sama?. Sebagai latihan buatlah polihedron-polihedron di atas menggunakan GeoGebra, kemudian berkreasilah dengan berbagai polihedron lainnya. Semoga bermanfaat....

November 19, 2014

Orthogonal Vector (Vektor Ortogonal)

Pada pembelajaran matematika di SMA dibahas tentang vektor. Ada satu istilah dalam materi vektor yang biasanya berhubungan dengan proyeksi vektor, yaitu vektor ortogonal dan beberapa buku menyebutnya dengan istilah proyeksi vektor ortogonal atau proyeksi ortogonal vektor. Lalu apa sebenarnya Vektor Ortogonal tersebut? dan mengapa juga digunakan istilah proyeksi vektor ortogonal?

Mari kita perhatikan gambar di bawah ini:
Vektor v = (3,5) akan diproyeksikan terhadap vektor u = (6,1). Hasil dari proyeksi vektor tersebut adalah sebuah vektor baru yang berhimpit di vektor u, misalnya dinamakan vektor w. Berdasarkan perhitungan manual, maka vektor w = (138/37, 23/37). Jika digambarkan akan terlihat seperti gambar berikut:
Jika diperhatikan BC tegak lurus terhadap vektor u. Penggunaan Istilah ortogonal sepertinya mengacu pada keadaan ini. Sebuah vektor diproyeksikan ke vektor lain dapat ditentukan dengan cara memproyeksikan ujung vektor tersebut ke vektor lain, dimana kita ketahui bahwa proyeksi titik ke garis atau bidang lain  hasil proyeksinya jika dihubungkan menggunakan garis atau ruas garis selalu tegak lurus dengan garis atau bidang proyeksinya. Sehingga istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi. Hal ini mengacu juga pada definisi orthogonal pada situs wikipedia yang menjelaskan bahwa:
"In geometry, two Euclidean vectors are orthogonal if they are perpendicular" (wikipedia).

Selanjutnya bagaimana jika vektor u tersebut diproyeksikan terhadap vektor v. Perhatikan gambar hasil proyeksinya berikut:
Berdasarkan gambar, definisi dan uraian di atas dapat kita ketahui bahwa ruas garis berarah BC dan AD dapat disebut sebagai vektor juga, sehingga vektor tersebut tegak lurus dengan masing-masing tempat vektor semula akan diproyeksikan, maka dapat dikatakan vektor-vektor tersebut adalah vektor yang orthogonal.


Agar penjelasan tentang proyeksi vektor ortogonal menjadi lebih mudah dapat digunakn program GeoGebra. Untuk membuat vektor proyeksi ortogonal dengan GeoGebra, dapat menggunakan beberapa konstruksi garis tegak lurus dan titik potong,

Misalnya untuk membuat proyeksi vektor v ke vektor u, maka terlebih dahulu dibua sebuah garis yang melalui titik O dan A, selanjutnya buat garis tegak lurus yang melalui titik B pada garis tersebut. Sembunyikan garis OA, kemudian buat vektor w dengan menggunakan perintah vektor dan titik (vector(C)). Buat ruas garis BC untuk memberikan ilustrasi orthogonalnya. Untuk vektor yang di R3 silahkan dicoba dengan mengadopsi langkah-langkah tersebut.

November 8, 2014

Computer Algebra System (CAS)

Menyelesaikan soal matematika secara manual merupakan satu kompetensi penting dalam mempelajari matematika. Hal ini bermanfaat untuk mengasah dan melatih kemampuan berpikir dan bernalar bagi mereka yang belajar matematika. Dengan kompetensi penyelesaian manual matematika yang baik, kita tidak akan ketergantungan terhadap alat bantu hitung baik yang tradisional maupun modern. Namun demikian, saat ini kita berada pada era yang sangat memungkinkan belajar matematika menggunakan sebuah sistem modern seperti program komputer.

Program komputer sebenarnya hanya alat yang digunakan untuk membantu kita agar lebih mudah dalam memahami konsep matematika. Dengan program komputer, konsep yang dipelajari dapat disimulasikan mendekati fakta dalam kehidupan. Misalnya, saat kita menentukan penyelesaian sistem persamaan yang hasilnya adalah bentuk akar. Untuk menggambar grafik penyelesaiannya secara manual hanya digunakan perkiraan. Berbeda ketika menggunakan program komputer, penyelesaian tersebut menjadi lebih mendekati fakta sesungguhnya.

Agar dalam mempelajari matematika bisa menjadi lebih nyata dan berhubungan nyata dengan penyelesaian manual, saat ini kita dapat menggunakan program komputer yang dikenal dengan "Computer Algebra System (CAS)". Dalam situs wikipedia disebutkan bahwa Computer Algebra System (CAS) merupakan program komputer yang memungkinkan untuk melakukan perhitungan matematika dengan cara yang mirip dengan cara-cara manual (wikipedia).

GeoGebra versi 4 ke atas telah dilengkapi fitur CAS ini, sehingga penggunaan GeoGebra sebagai alat bantu mempelajari matematika juga akan semakin mempermudah dalam pemahaman konsep matematika. Sebagai contoh kita akan menyelesaikan sebuah sistem persamaan non linear $y= x^2$ dan $ y=x+1$ dengan tekhnik substitusi.

Langkah awal yang dilakukan adalah menyiapkan 3 area kerja di GeoGebra, yaitu algebra, cas dan graphics. Langkah selanjutnya adalah melakukan proses pengerjaan seperti halnya penyelesaian secara manual, namun semua perhitungan nantinya akan dilakukan oleh komputer. Yang perlu dilakukan adalah ketikan persamaan-persamaan pada menu input yaitu y=x^2, maka akan terbentuk persamaan dan gambar tersebut secara langsung, lanjutkan dengan y=x+1.

Sebenarnya dengan langkah ini, langsung saja dicari titik potongnya pun selesai, namun hasilnya bukan berupa ekspresi matematika seperti yang kita inginkan diawal, yaitu dalam bentuk ekspresi matematika manual. Untuk dapat memperoleh hasil yang diinginkan tersebut, maka digunakanlah fitur CAS. Ketikkan langsung di CAS persamaan pertama, misal c dan tekan enter, kemudian a tekan enter (c dan a adalah parameter dari masing-masing persamaan, jadi dapat beda).

Selanjutnya di kolom ke tiga ketikkan
intersect[c,a] (jangan lupa enter ya)
Apabila berhasil akan tampil himpunan penyelesaian yang diinginkan, dan agar tampil tititk tersebut pada grafik, langsung klik saja pada bagian bulat yang ada disebelah kiri hasil penyelesaian tersebut, maka akan tampillah titik yang dimaksud.

Hasil Penyelesaian dengan CAS


Tutorial sederhana dapat dilihat pada video berikut:
Selanjutnya, untuk tekhnik-tekhnik CAS yang lain, akan kita bahas pada tulisan selanjutnya. Selamat mencoba semoga menambah pemahaman tentang konsep matematika dengan benar, dan jangan lupa latih terus kemampuan matematika kita secara manual juga ya....

November 3, 2014

Sistem Persamaan Non Linear

Sebuah sistem persamaan yang salah satu persamaannya tidak memuat bentuk linear disebut sebagai sistem persamaan non linear. Pada pembelajaran Matematika di SMA salah satu sitem yang dipelajari adalah sistem persamaan linear dan kuadrat. Penyelesaian sistem persamaan ini menggunakan 2 cara, yaitu pendekatatan grafik dan cara substitusi.

Tekhnik grafik digunakan untuk mencari penyelesaian yang merupakan titik potong antara parabola dan garis. Parabola dibentuk dari persamaan parbola (kuadrat) dan garis dibentuk dari persamaan garis (linear). Cara ini efektif digunakan untuk sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian sederhana. Pengertian sederhana terbatas pada penyelesaian dengan titik potong yang mudah dijangkau dengan pengamatan. Untuk sistem persamaan dengan penyelesaian berupa titik potong yang sulit diamati digunakan tekhnik subtsitusi.


Sebenarnya penyelesaian dengan tekhnik gambar masih dapat digunakan untuk penyelesaian dengan titik potong yang sulit diamati jika menggunakan alat bantu. Alat bantu yang dapat digunakan salah satunya adalah menggunakan software GeoGebra. Dengan GeoGebra menggambar dapat dilakukan dengan mudah dan sekaligus mencari titik potongnyapun mudah.

Namun penggunaan GeoGebra untuk penyelesaian sistem persamaan non linear pada pembelajaran matematika di jenjang SMA hanya merupakan pendukung yang digunakan untuk memahami penyelesaian sistem persamaan non linear tersebut. Kemampuan yang diutamakan masih mengutamakan kemampuan aljabar dalam penyelesaian masalah. Jadi lebih terfokus pada penyelesaian substitusi.

Namun demikian GeoGebra tetap dapat digunakan sebagai pendukung kegiatan pembelajaran sehingga dengan mudah memberikan ilustrasi tentang penyelesaian sistem persamaan non linear ini. Dengan bantuan GeoGebra dengan mudah mendesaian pada kondisi bagaimana tidak mempunyai titik potong, mempunyai satu titik potong serta mempunyai dua titik potong. Ilustrasi sederhana dapat dilihat pada gambar berikut.

 Agar ilustrasi dapat menarik, maka dapat dibuatkan iustrasi interkatif. Untuk pembuatan ilustrasi interaktif ini akan dituangkan dalam tulisan yang akan datang. Selamat menggunakan GeoGebra pada pembelajaran ini.

October 29, 2014

Penyelesaian Program Linear

GeoGebra dapat menjadi salah satu pilihan untuk memahami atau menyelesaikan masalah matematika. Program linearpun dapat dengan mudah diselesaikan oleh GeoGebra. Program linear baru dapat diselesaikan jika masalah yang berbentuk program linear sudah dalam bentuk model matematika. Masalah yang tersaji dalam bentuk soal cerita harus dibuat model matematikanya terlebih dahulu. Setelah terbentuk model matematikanya, maka GeoGebra dapat digunakan untuk membantu penyelesaiannya.

Misalkan kita akan mencari nilai minimum dari f(x,y) = 2x +10y, yang memenuhi
$\begin{eqnarray*}
 x+2y&\geq&10\\
 3x+y&\geq&15\\
 x&\geq&0\\
 y&\geq&0\\
\end{eqnarray*}$

Siapkan 3 area kerja GeoGebra: Aljabar, Grafik dan Spreadsheet.
Ketikkan fungsi tujuan pada menu input langsung, yaitu f(x,y)=2x + 10y.
Kemudian kita buat gambar garisnya terlebih dahulu, dengan cara menginputkan langsung di menu input yaitu: x + 2y =10 dan 3x + y = 15. Hal ini diperlukan untuk menentukan titik potong garisnya.
Selanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan yang telah ada. Untuk membuat sistem pertidaksamaan ketikkan pada menu input langsung:
x+2y>=10
3x+y>=15
x>=0
y>=0
Secara otomatis akan terbentuk daerah penyelesaian dari sistem pertidak samaan tersebut pada area grafik di GeoGebra. Daerah yang berwarna lebih pekat adalah daerah penyelesaiannya. 

Gbr. 1. Daerah Penyelesaian Berwarna lebih Pekat
Namun pada beberapa buku daerah penyelesaian dibuat berlawanan, yaitu daerah yang tidak memilik warna atau arsiran. Di GeoGebra juga disediakan fasilitas tersebut. Klik kanan pada keempat pertidaksamaan tersebut dan pilih object properties.  Pada menu style ceklislah inverse filling untuk membuat daerah penyelesaian tidak berwarna atau tidak diarsir. Untuk menentukan jenis arsiran pilihlah filling hatch.

Gbr. 2. Menu Editing Object Properties
Daerah penyelesaian terlihat sangat jelas, sehingga kita dapat menentukan titik-titik pojoknya sekarang.

Gbr. 3. Daerah Penyelesaian Terlihat Bersih
Setelah jelas daerah penyelesaiannya, sembunyikan pertidaksamaan yang ada. Kemudian tentukan titik potong garis yang ada pada titik-titik kritis/titik pojoknya.
Gbr. 4. Titik Pojok Untuk Menentukan Nilai Minimumnya
Selanjutnya pada area spreadsheet, siapkan dua kolom. Kolom Pertama tuliskan Titik dan Kolom Kedua untuk Nilai optimum.
Pada A2 ketikkan A, A3 ketikkan B, dan A4 C. Secara otomatis titik akan terbuat seperti yang ada pada gambar. Kemudian pada kolom kedua ketikkan f(A2) dan seterusnya, maka nilai dari fungsi tujuan akan terselesaikan
Gbr. 5. Nilai Optimum Yang diperoleh
Untuk lebih memahami langkah-langkah tersebut saksikan tutorialnya pada video berikut:


October 27, 2014

Membuat Simulasi Volume Benda Putar

Penggunaan Integral salah satunya adalah untuk menentukan volume dari benda putar. Materi volume benda putar akan semakin mendekati realistis jika kita mampu mengimajinasikan bagaimana sebuah kurva ketika diputar sejauh 360 derajat dapat membentuk benda putar sehingga dapat dicari volumenya. Penggunaan contoh sehari-hari juga dapat membantu pemahaman kita tentang benda putar tersebut, namun adakalanya kita merasa kesulitan menghubungkan secara abstrak bagaimana sebuah kurva ketika diputar kok dapat membentuk benda putar tersebut.

Bagi para ahli matematika kesulitan tersebut mungkin dapat diatasi, namun bagi kita yang masih mulai belajar tentang benda putar ini menjadi sebuah permasalahan tersendiri. Menggunakan media adalah salah satu cara untuk membantu kita mengatasi kesulitan pemahaman abstrak terbentuknya benda putar dari sebuah kurva yang diputar sejauh sekian derajat.


GeoGebra 5 keatas memberikan kemudahan bagi kita untuk bereksplorasi tentang terbentuknya benda putar tersebut. Misalnya kita akan membuat simulasi bagaimana terbentuknya benda putar yang di buat dari sebuah kurva $ f(x)=x^3-x^2+2$.

Pada gambar di atas, misalkan dari batas -1 hingga 1 akan dibuat benda putar yang dengan cara  memutar kurva $f(x)=x^3-x^2+2$ sejauh 360 derajat terhadap sumbu x. Maka yang perlu dipersiapkan di lembar GeoGebra kita adalah:
1. Kurvanya
2. Slider sudut
3. Tampilan 3D
4. Entery langsung di menu input:
Surface[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable 1>, <Start Value>, <End Value>, <Parameter Variable 2>, <Start Value>, <End Value> ]

Untuk poin 1, 2 dan 3 adalah hal yang sudah biasa dilakukan, untuk poin 4 akan dijelaskan sebagai berikut:
Surface merupakan perintah yang digunakan untuk membuat permukaan/kulit dari sebuah benda putar yang akan dibentuk. Permukaan akan terbentuk sesuai dengan keinginan kita jika kita masukkan kriteria sesuai dengan tujuan pembuatan benda putar tersebut. Terdapat beberapa kriteria, Expression, Parameter, dan Interval/Batasan.

Expression terdiri dari 3 karena kita bekerja pada tampilan 3D (ada sumbu x, y dan z). Secara default masing-masing expression mewakili sumbu x, sumbu y dan sumbu z.



Parameter hanya 2 jenis, karena pada pembuatan permukaan/kulit ini nanti menggunakan dua variabel, variabel pertama untuk batasan numerik dan variabel kedua untuk batasan sudut putarnya.

Baiklah langsung saja dipraktikkan, buat grafik dari f(x)=x^3-x^2+2 pada menu input. Selanjutnya buat slider sudutnya, dengan interval 0 sampai 360 derajat, kemudian berikan tampilan 3D untuk persiapan pembuatan simulasi benda putarnya.

Pada menu input ketikkan langsung:
Surface[a, f(a)cos(b), f(a)sin(b), a, -1,1, b, 0, α]
Secara otomatis terbentuklah permukaan/kulit dari benda putar yang diinginkan. Lakukan editing seperlunya dan untuk mengetahui perubahan bentuknya draglah slider sudutnya dari 0 hingga 360 derajat.

Selamat mencoba, saya yakin jika kita jeli masih ada kejanggalan dalam pembuatan simulasi ini. Silahkan sempurnakan, dan jika masih kesulitan mari kita diskusikan di kolom komentar. Semoga bermanfaat.
Untuk menambah pemahaman tentang tutorial ini, saksikan video berikut: