November 30, 2014

Bangun Ruang Platonik

Para penganut Pythagoras di zaman Yunani kuno menemukan bahwa beberapa polihedron dapat dimasukkan secara tepat dalam satu bola. Bangun-bangun ruang ini mempunyai muka yang seluruhnya berupa bangun beraturan.


Kaum Pythagorean menyebutnya bangun-bangun yang sempurna. Bangun ruang sempurna paling sederhana yang mereka amati adalah kubus. Bangun-bangun ruang sempurna lainnya adalah tetrahedron beraturan, oktahedron beraturan, dodekahedron beraturan dan ikosahedron beraturan. Kelima bangun ruang ini saat ini dikenal dengan nama bangun ruang Platonik.
Menggunakan GeoGebra bangun ruang Platonik tersebut dapat dibuat seperti gambar di bawah ini.
Icosahedron
Tetrahedron


Kubus


Dodecahedron

Octahedron
Menggunakan GeoGebra kelima bangun tersebut jaring-jaringnya dapat dibuat hanya dengan sebuah klik, seperti gambar di bawah ini.
Dodekahedron dengan Jaring-Jaringnya

Jaring-Jaring Oktahedron
Selamat mencoba!

November 28, 2014

Lingkaran SIM

Lingkaran SIM adalah permainan untuk dua orang yang seolah-olah mudah. Sebuah lingkaran digambar, dan enam titik yang berjarak sama diletakkan pada keliling kingkaran itu. Setiap pemain memakai bolpoin yang warnanya berlainan. Pemain-pemain bergiliran membuat garis yang menghubungkan dua titik mana saja pada lingkaran tadi. Mereka jangan sampai membentuk sebuah segitiga dalam warna mereka, jika demikian mereka kalah.
Lingkaran SIM
Dengan GeoGebra permainan ini dapat pula dimainkan, bagaimana penasaran memainkannya? silahkan mencoba....
(sumber: ensiklopedi matematika dan perdaban dunia)

November 27, 2014

Teorema Euler

Leonhard Euler (1701-1783) menyatakan bahwa di dalam sembarang polihedron terdapat hubungan antara banyaknya titik sudut ruang (T), banyaknya rusuk (R) dan banyaknya sisi (S) dengan hubungan T - R + S = 2.

Menggunakan GeoGebra kita dapat membuat berbagai polihedron yang diinginkan. Sebagai contoh di bawah ini ada beberapa polihedron yang dibuat menggunakan Geogebra.
Polihedron 1
 Pada gambar polihedron 1, terdapat 24 titik sudut ruang, 48 rusuk dan 26 sisi. Maka menurut Euler 24 - 48 + 26 = 2.
Polihedron 2

 Sedangkan pada gambar polihedron 2 mempunyai 4 titik sudut ruang, 6 rusuk dan 4 sisi, maka menurut Euler 4 - 6 + 4 = 2.
Polihedron 3
Pada gambar polihedron 3 mempunyai 6 titik sudut ruang, 12 rusuk dan 8 sisi, maka menurut Euler 6 - 12 + 8 = 2.

Menarik bukan? Silahkan mencoba dengan polihedron yang lain, apakah masih tetap mempunyai hubungan yang sama?. Sebagai latihan buatlah polihedron-polihedron di atas menggunakan GeoGebra, kemudian berkreasilah dengan berbagai polihedron lainnya. Semoga bermanfaat....

November 19, 2014

Orthogonal Vector (Vektor Ortogonal)

Pada pembelajaran matematika di SMA dibahas tentang vektor. Ada satu istilah dalam materi vektor yang biasanya berhubungan dengan proyeksi vektor, yaitu vektor ortogonal dan beberapa buku menyebutnya dengan istilah proyeksi vektor ortogonal atau proyeksi ortogonal vektor. Lalu apa sebenarnya Vektor Ortogonal tersebut? dan mengapa juga digunakan istilah proyeksi vektor ortogonal?

Mari kita perhatikan gambar di bawah ini:
Vektor v = (3,5) akan diproyeksikan terhadap vektor u = (6,1). Hasil dari proyeksi vektor tersebut adalah sebuah vektor baru yang berhimpit di vektor u, misalnya dinamakan vektor w. Berdasarkan perhitungan manual, maka vektor w = (138/37, 23/37). Jika digambarkan akan terlihat seperti gambar berikut:
Jika diperhatikan BC tegak lurus terhadap vektor u. Penggunaan Istilah ortogonal sepertinya mengacu pada keadaan ini. Sebuah vektor diproyeksikan ke vektor lain dapat ditentukan dengan cara memproyeksikan ujung vektor tersebut ke vektor lain, dimana kita ketahui bahwa proyeksi titik ke garis atau bidang lain  hasil proyeksinya jika dihubungkan menggunakan garis atau ruas garis selalu tegak lurus dengan garis atau bidang proyeksinya. Sehingga istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi. Hal ini mengacu juga pada definisi orthogonal pada situs wikipedia yang menjelaskan bahwa:
"In geometry, two Euclidean vectors are orthogonal if they are perpendicular" (wikipedia).

Selanjutnya bagaimana jika vektor u tersebut diproyeksikan terhadap vektor v. Perhatikan gambar hasil proyeksinya berikut:
Berdasarkan gambar, definisi dan uraian di atas dapat kita ketahui bahwa ruas garis berarah BC dan AD dapat disebut sebagai vektor juga, sehingga vektor tersebut tegak lurus dengan masing-masing tempat vektor semula akan diproyeksikan, maka dapat dikatakan vektor-vektor tersebut adalah vektor yang orthogonal.


Agar penjelasan tentang proyeksi vektor ortogonal menjadi lebih mudah dapat digunakn program GeoGebra. Untuk membuat vektor proyeksi ortogonal dengan GeoGebra, dapat menggunakan beberapa konstruksi garis tegak lurus dan titik potong,

Misalnya untuk membuat proyeksi vektor v ke vektor u, maka terlebih dahulu dibua sebuah garis yang melalui titik O dan A, selanjutnya buat garis tegak lurus yang melalui titik B pada garis tersebut. Sembunyikan garis OA, kemudian buat vektor w dengan menggunakan perintah vektor dan titik (vector(C)). Buat ruas garis BC untuk memberikan ilustrasi orthogonalnya. Untuk vektor yang di R3 silahkan dicoba dengan mengadopsi langkah-langkah tersebut.

November 8, 2014

Computer Algebra System (CAS)

Menyelesaikan soal matematika secara manual merupakan satu kompetensi penting dalam mempelajari matematika. Hal ini bermanfaat untuk mengasah dan melatih kemampuan berpikir dan bernalar bagi mereka yang belajar matematika. Dengan kompetensi penyelesaian manual matematika yang baik, kita tidak akan ketergantungan terhadap alat bantu hitung baik yang tradisional maupun modern. Namun demikian, saat ini kita berada pada era yang sangat memungkinkan belajar matematika menggunakan sebuah sistem modern seperti program komputer.

Program komputer sebenarnya hanya alat yang digunakan untuk membantu kita agar lebih mudah dalam memahami konsep matematika. Dengan program komputer, konsep yang dipelajari dapat disimulasikan mendekati fakta dalam kehidupan. Misalnya, saat kita menentukan penyelesaian sistem persamaan yang hasilnya adalah bentuk akar. Untuk menggambar grafik penyelesaiannya secara manual hanya digunakan perkiraan. Berbeda ketika menggunakan program komputer, penyelesaian tersebut menjadi lebih mendekati fakta sesungguhnya.

Agar dalam mempelajari matematika bisa menjadi lebih nyata dan berhubungan nyata dengan penyelesaian manual, saat ini kita dapat menggunakan program komputer yang dikenal dengan "Computer Algebra System (CAS)". Dalam situs wikipedia disebutkan bahwa Computer Algebra System (CAS) merupakan program komputer yang memungkinkan untuk melakukan perhitungan matematika dengan cara yang mirip dengan cara-cara manual (wikipedia).

GeoGebra versi 4 ke atas telah dilengkapi fitur CAS ini, sehingga penggunaan GeoGebra sebagai alat bantu mempelajari matematika juga akan semakin mempermudah dalam pemahaman konsep matematika. Sebagai contoh kita akan menyelesaikan sebuah sistem persamaan non linear $y= x^2$ dan $ y=x+1$ dengan tekhnik substitusi.

Langkah awal yang dilakukan adalah menyiapkan 3 area kerja di GeoGebra, yaitu algebra, cas dan graphics. Langkah selanjutnya adalah melakukan proses pengerjaan seperti halnya penyelesaian secara manual, namun semua perhitungan nantinya akan dilakukan oleh komputer. Yang perlu dilakukan adalah ketikan persamaan-persamaan pada menu input yaitu y=x^2, maka akan terbentuk persamaan dan gambar tersebut secara langsung, lanjutkan dengan y=x+1.

Sebenarnya dengan langkah ini, langsung saja dicari titik potongnya pun selesai, namun hasilnya bukan berupa ekspresi matematika seperti yang kita inginkan diawal, yaitu dalam bentuk ekspresi matematika manual. Untuk dapat memperoleh hasil yang diinginkan tersebut, maka digunakanlah fitur CAS. Ketikkan langsung di CAS persamaan pertama, misal c dan tekan enter, kemudian a tekan enter (c dan a adalah parameter dari masing-masing persamaan, jadi dapat beda).

Selanjutnya di kolom ke tiga ketikkan
intersect[c,a] (jangan lupa enter ya)
Apabila berhasil akan tampil himpunan penyelesaian yang diinginkan, dan agar tampil tititk tersebut pada grafik, langsung klik saja pada bagian bulat yang ada disebelah kiri hasil penyelesaian tersebut, maka akan tampillah titik yang dimaksud.

Hasil Penyelesaian dengan CAS


Tutorial sederhana dapat dilihat pada video berikut:
Selanjutnya, untuk tekhnik-tekhnik CAS yang lain, akan kita bahas pada tulisan selanjutnya. Selamat mencoba semoga menambah pemahaman tentang konsep matematika dengan benar, dan jangan lupa latih terus kemampuan matematika kita secara manual juga ya....

November 3, 2014

Sistem Persamaan Non Linear

Sebuah sistem persamaan yang salah satu persamaannya tidak memuat bentuk linear disebut sebagai sistem persamaan non linear. Pada pembelajaran Matematika di SMA salah satu sitem yang dipelajari adalah sistem persamaan linear dan kuadrat. Penyelesaian sistem persamaan ini menggunakan 2 cara, yaitu pendekatatan grafik dan cara substitusi.

Tekhnik grafik digunakan untuk mencari penyelesaian yang merupakan titik potong antara parabola dan garis. Parabola dibentuk dari persamaan parbola (kuadrat) dan garis dibentuk dari persamaan garis (linear). Cara ini efektif digunakan untuk sistem persamaan yang mempunyai penyelesaian sederhana. Pengertian sederhana terbatas pada penyelesaian dengan titik potong yang mudah dijangkau dengan pengamatan. Untuk sistem persamaan dengan penyelesaian berupa titik potong yang sulit diamati digunakan tekhnik subtsitusi.


Sebenarnya penyelesaian dengan tekhnik gambar masih dapat digunakan untuk penyelesaian dengan titik potong yang sulit diamati jika menggunakan alat bantu. Alat bantu yang dapat digunakan salah satunya adalah menggunakan software GeoGebra. Dengan GeoGebra menggambar dapat dilakukan dengan mudah dan sekaligus mencari titik potongnyapun mudah.

Namun penggunaan GeoGebra untuk penyelesaian sistem persamaan non linear pada pembelajaran matematika di jenjang SMA hanya merupakan pendukung yang digunakan untuk memahami penyelesaian sistem persamaan non linear tersebut. Kemampuan yang diutamakan masih mengutamakan kemampuan aljabar dalam penyelesaian masalah. Jadi lebih terfokus pada penyelesaian substitusi.

Namun demikian GeoGebra tetap dapat digunakan sebagai pendukung kegiatan pembelajaran sehingga dengan mudah memberikan ilustrasi tentang penyelesaian sistem persamaan non linear ini. Dengan bantuan GeoGebra dengan mudah mendesaian pada kondisi bagaimana tidak mempunyai titik potong, mempunyai satu titik potong serta mempunyai dua titik potong. Ilustrasi sederhana dapat dilihat pada gambar berikut.

 Agar ilustrasi dapat menarik, maka dapat dibuatkan iustrasi interkatif. Untuk pembuatan ilustrasi interaktif ini akan dituangkan dalam tulisan yang akan datang. Selamat menggunakan GeoGebra pada pembelajaran ini.