December 28, 2014

Pray For Air Asia


Gambar dibuat menggunakan GeoGebra
Pesawat AirAsia QZ8501 jurusan Surabaya-Singapura hilang kontak di antara Belitung Timur dan Pulau Kalimantan pada hari ini, 28 Desember 2014 Pukul 06.24 WIB (sumber detik.com). Pesawat ini membawa total 155 penumpang dan kru. Musibah memang tidak ada yang menginginkan, namun jika sudah terjadi kita hanya mampu pasrah kepada yang maha kuasa dengan tidak lupa berusaha untuk melakukan penyelamatan.

Sebagai sesama manusia marilah kita berdoa agar kejelasan nasib para penumpang segera dapat diperoleh. Kepada para keluarga semoga diberi ketabahan. Semoga yang maha kuasa memberikan jalan terbaiknya kepada kita semua. Aamiin....

December 27, 2014

Aturan L’Hospital

Grafik berikut merupakan gambar dari fungsi
$ f(x)=\frac{ln x}{x-1}$


Pada saat x = 1, diperoleh
$ f(1)=\frac{ln(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$
Sedangkan pada gambar terlihat bahwa nilai fungsi pada saat x = 1 adalah 1. Selanjutnya mengapa terjadi yang demikian?
Permasalahan ini dapat diselesaikan menggunakan konsep limit. Pada saat nilai x = 1 disubstitusikan ke fungsi hasilnya adalah tak tentu, maka nilai pendekatan 1 dapat dijadikan solusi untuk menyelesaikannya.

Hal ini berarti
$\lim_{ x \to 1 }f(x)=\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}$
Nilai dari limit ini tidak dapat dicari dengan cara biasa. Namun tekhnik penyelesaian limit dengan pemfaktoran maupun dengan pendekatan geometri juga tidak dapat digunakan juga. Oleh karenanya diperlukan tekhnik penyelesaian limit yang lain. Tekhnik penyelesaian ini dikenal dengan aturan l'Hospital. Dalam buku Calculus Concepts dituliskan sebagai berikut:

Sehingga nilai limit dari permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara:
$\lim_{ x \to 1 }\frac{lnx}{x-1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{\frac{1}{x}}{1}= \lim_{ x \to 1 }\frac{1}{x}=1 $
Dengan menggunakan GeoGebra penyelesaian limit tersebut diperoleh nilai yang sama yaitu 1, seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Sedangkan jika perhitungan langsung menggunakan f(1) tanpa limit, pada Geogebra menghasilkan value "undefined". Hal ini sepertinya sangat tidak masuk akal, pada saat fungsi tersebut diinputkan langsung akan terbentuk grafik yang kontinyu pada titik x = 1, namun saat titik x = 1 diinputkan langsung menghasilkan bentuk yang tidak tentu, maka solusi limit dapat digunakan untuk menjelaskan kejadian ini, sehingga pada saat x mendekati 1 maka nilai fungsinya adalah 1. Hal ini mungkin sekali terjadi pada bentuk-bentuk fungsi yang lain. Oleh karena itu jika hal ini ditemukan maka perlu diselesaikan dengan limit, dan penyelesaian limit salah satunya dapat menggunakan dalil l'Hospital.

Referensi
Buku "Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change" Edisi ke lima.

December 25, 2014

Mengenal Perintah "Curve" Pada GeoGebra (2)

Pada tulisan sebelumnya telah dibahas perintah curve yang memuat dua ekspresi matematika, kali ini pembahasan memfokuskan pada perintah yang kedua. Perintah ini mempunyai format standar sebagai berikut:
Curve[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]

Perintah di atas memuat 3 ekspresi yang dapat diisi oleh ekspresi matematika sesuai dengan tujuan grafik apa yang ingin divisualisasikan. Perintah kedua ini memiliki 4 komponen utama seperti halnya perintah yang sebelumnya, yaitu Curve, Expression, Parameter Variable dan Value. Curve merupakan perintah yang mengeksekusi program untuk membuat sebuah kurva. Expression merupakan keadaan apa yang akan digambarkan, misalnya bentuk lengkung atau garis. Selanjutnya pada form Parameter Variable memberikan kebebasan kepada kita untuk membuat variabel apa yang akan digunakan, misal a, b, c dan sebagainya (kecuali x, y dan z). Form Value memberikan batasan daerah yang akan digambar. Yang membedakan dengan perintah sebelumnya ada pada jumlah ekspresi matematika yang dapat dibuat.

Pada perintah sebelumnya hanya memuat 2 ekspresi matematika (mewakili x dan y). Perintah kedua ini mempunyai 3 ekspresi matematika (mewakili x, y dan z), sehingga visualisasi dari grafiknya dapat dilihat menggunakan perspektif 3 dimensi. Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1
Curve[a, sin(a), cos(a), a, 0,  2π ]
Perintah tersebut akan menghasilkan sebuah spiral yang searah dengan sumbu x
Pada contoh ini memuat 3 ekspresi yang masing-masing berurutan mewakili sumbu x, y dan z. Apabila ekspresi dipindahkan ke z maka spiral yang terbentuk akan searah dengan sumbu z.

Contoh 2
Curve[sin(a), cos(a), a, a, 0,  2π ]

Perintah curve selain  digunakan secara mandiri dapat juga dikomposisikan dengan perintah lain. Komposisi perintah ini akan menghasilkan sebuah grafik yang cukup menarik. Perpaduan/komposisi perintah dalam GeoGebra akan dimuat dalam tulisan berikutnya.
Untuk pemahaman tentang perintah curve ini, silahkan mencoba dengan bentuk-bentuk yang lain misalnya Curve[t, t^2, t^3, t, -2, 2] . Selamat mencoba.

Referensi:

December 24, 2014

Mengenal Perintah "Curve" Pada GeoGebra (1)

Curve atau Kurva menurut kamus besar Bahasa Indonesia merupakan grafik yang menggambarkan variabel yang dipengaruhi oleh suatu keadaan.Grafik tersebut dapat berupa lengkungan maupun garis. Keadaan ini dipengaruhi dari keadaan apa dan bagaimana yang akan digambarkan.

Menggunakan GeoGebra, hanya dengan beberapa klik saja kurva sudah dapat terbentuk . Namun demikian, GeoGebra memberikan perintah khusus untuk membuat kurva tersebut. Perintah kurva yang ada dalam Geogebra digunakan untuk perspektif 2 dimensi (sumbu x dan y) dan perspektif 3 dimensi (sumbu x, sumbu y dan sumbu z).

Perintah untuk membuat kurva pada dasarnya ada 2. Perintah tersebut menggunakan format umum penulisan sebagai berikut:
  1. Curve[ <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
  2. Curve[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
Perintah nomor 1 dapat dipilih untuk membuat kurva untuk perspektif 2 dimensi (sumbu x dan sumbu y). Perintah tersebut mengandung 4 komponen utama, yaitu  Curve, Expression, Parameter Variable dan Value. Curve merupakan perintah yang mengeksekusi program untuk membuat sebuah kurva. Expression merupakan keadaan apa yang akan digambarkan, misalnya bentuk lengkung atau garis. Selanjutnya pada form Parameter Variable memberikan kebebasan kepada kita untuk membuat variabel apa yang akan digunakan, misal a, b, c dan sebagainya (kecuali x, y dan z). Form Value memberikan batasan daerah yang akan digambar.

Perhatikan contoh berikut:
  • Curve[a, a^2, a, -1, 2]. Perintah ini akan menghasilkan gambar seperti berikut:
  • Curve[t^3, t, t, -1, 2]. Perintah ini akan menghasilkan gambar:

Dua contoh tersebut dapat dibandingkan dengan format dasarnya sebagai berikut:

Curve[ <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable>, <Start Value>, <End Value> ].
Curve[a, a^2, a, -1, 2]

Expression pertama adalah a
Expression kedua adalah a^2 
Berarti gambar akan berbentuk parabola dan dibuat berdasarkan nilai a yang akan diberikan nanti.

Parameter Variable adalah  a.
Variabel yang diisikan harus sama dengan form expression, karena jika berbeda form expession tidak dapat dijalankan seperti yang dikehendaki.

Value dimulai pada -1 dan diakhiri 2.
Hal ini memberikan petunjuk bahwa gambar yang akan digambar berada pada interval -1 sampai dengan 2.

Sebagai latihan memahami perintah curve pada gambar kedua, pembaca dapat juga melakukan analisisnya secara mandiri.

Selanjutnya perintah curve yang kedua dibahas pada tulisan berikutnya.

December 23, 2014

Sinus Sudut Berelasi

Matematika berkembang sejalan dengan keperluan manusia dalam menyelesaikan masalah yang dihadapinya. Awalnya matematika merupakan bentuk-bentuk sederhana yang digunakan secara praktis, namun seiring dengan perkembangan peradaban manusia matematikapun berkembang, bahkan dapat juga dikatakan bahwa sebagian perkembangan peradaban manusia merupakan buah pikir dari pengkajian matematika itu sendiri.

Pengkajian segitiga siku-siku yang merupakan pengembangan bentuk geometri awalnya digunakan untuk keperluan praktis menghitung sisi-sisi segitiga, namun saat ini sudah berkembang pada trigonometri yang digunakan sebagai dasar penerapan praktis dalam tekhnik bangunan, arsitektur, ilmu pelayaran, astronomi dan pengembangan ilmu-ilmu lainnya.

Perbandingan sisi pada segitiga siku-siku memiliki besar yang tetap dan berelasi dengan sudut yang dibentuk, tidak masalah di mana pun sudut itu ditemukan. Perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku yang berelasi dengan sudutnya kemudian dikenal dengan istilah fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus dan tangen (ensiklopedia matematika).

Karena nilai sudut selalu sama di mana pun tempatnya, maka perbandingan pada fungsi trigonometri pun berkembang bukan hanya pada besar sudut yang berada pada sebuah segitiga siku-siku saja. Walaupun demikian ternyata perbandingan sudut tersebut masih mempunyai relasi dengan sudut  pada segitiga siku-siku. Yang membedakan hanyalah nilai perbandingannya, dapat bernilai positif maupun negatif.

Sebagai contoh, untuk memahami perbandingan fungsi trigonometri sudut berelasi mari kita lihat pada fungsi sinus. Untuk membantu memahami sudut berelasi perbandingan sinus digunakan lingkaran satuan yang dibuat menggunakan GeoGebra.

Pada lingkaran satuan tersebut, menurut perbandingan fungsi sinus bahwa
$ sin \alpha = \frac {y}{r}$
Karena nilai y positif maka pada kuadran I, nilai sinus adalah positif.
Dengan memindahkan titik B pada kuadran kedua dapat terlihat bahwa nilai sinus positif.
Berbeda pada kuadran ketiga dan keempat terlihat bahwa nilai sinus negatif.

Agar dapat lebih jelas dalam memahaminya silahkan diunduh file GeoGebranya di SINI
Pengetahuan tentang nilai sinus pada masing-masing kuadran dapat bermanfaat pada bidang-bidang lain yang berhubungan dengan konsep trigonometri, khususnya fungsi sinus. Dengan demikian kita dapat memahami bahwa perbandingan fungsi trigonometri dapat dikembangkan ke berbagai bidang tidak hanya pada nilai sudut yang ada pada segitiga siku-siku belaka.

December 22, 2014

Mengkonstruksi Segitiga Sama Sisi

Gambar pada GeoGebra dikenal adanya gambar bebas dan gambar konstruksi. Gambar bebas adalah gambar/grafik yang tidak mempunyai kaitan atau hubungan dengan gambar lain, sedangkan gambar konstruksi dapat diartikan sebagai gambar yang pembuatannya berhubungan dengan gambar yang lain. Untuk membuat segitiga sama sisi dapat digunakan dua cara tersebut, yaitu sebagai gambar bebas maupun gambar konstruksi.

Untuk membuat segitiga sama sisi yang merupakan jenis gambar bebas digunakan tool regular polygon, sedangkan untuk gambar konstruksi segitiga sama sisi digunakan dua buah lingkaran yang mempunyai jari-jari yang sama panjangnya dan saling melalui titik pusatnya.
Setelah itu ditentukan titik potong antara kedua lingkaran tersebut.
Selanjutnya dari tool polygon, hubungkan tiga buah titik pada lingkaran dan melalui kedua pusat lingkaran tersebut.
Dari gambar yang terbentuk sangat jelas bahwa segitiga yang terbentuk adalah segitiga sama sisi, kenapa demikian? Ya, karena sisi-sisi pada segitiga tersebut adalah jari-jari lingkaran dari masing-masing lingkaran yang ada, sedangkan telah diketahui bahwa lingkaran yang digunakan mempunyai jari-jari yang sama panjangnya.
Setelah itu lingkaran yang digunakan untuk membuat konstruksi segitiga tersebut, disembunyikan dengan tujuan agar yang terlihat hanya segitiga hasil konstruksi saja.
Demikianlah cara membuat segitiga dengan menggunakan software GeoGebra. Sekarang dapat terlihat perbedaan antara segitiga sama sisi yang dibuat dengan cara biasa dan dengan cara konstruksi. Silahkan pembaca mencoba dengan cara yang dituliskan pada blog ini, kemudian cobalah untuk mencari cara lain untuk mengkonstruksi segitiga sama sisi tersebut.
Selamat mencoba dan jangan lupa saksikan video tutorialnya di bawah ini.



December 21, 2014

Membagi Rusuk Kubus Menjadi Tiga Bagian

Kubus adalah salah satu bangun ruang platonik yang cukup istimewa. Pada ujian nasional kubus menempati posisi yang cukup dominan muncul menjadi permasalahan yang ditanyakan. Salah satu hal yang dapat dipelajari menggunakan GeoGebra adalah bagaimana menentukan titik pada salah satu rusuk kubus yang letaknya 1/3 bagian dari rusuk tersebut. Kondisi ini sama halnya kita harus membagi rusuk kubus tersebut menjadi tiga bagian ruas garis yang sama panjangnya. Untuk menentukan posisi titik tersebut dengan menggunakan GeoGebra dapat digunakan beberapa langkah yang dapat mengkonstruksi titik tersebut.

Kenapa langkah konstruksi diperlukan untuk menentukan titik-titik tersebut? Ya salah satu alasannya adalah agar kita dapat melatih logika geometri kita. Misalnya kita akan menentukan sebuah titik yang terletak diantara titik A dan Titik E sehingga kedudukan titik tersebut berada pada 1/3 bagian ruas garis AE tersebut.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
  1. Pada GeoGebra gambarlah sebuah kubus ABCD.EFGH.
  2. Buat diagonal ruang yang menghubungkan antara titik E dan C.
  3. Buat garis yang tegak lurus ruas garis tersebut dan melalui titik A.
  4. Tentukan titik potong garis tersebut dengan diagonal ruang yang tadi.
  5. Buat sebuah garis yang sejajar dengan diagonal sisi EG atau AC dan melalui titik potong garis pada langkah 4.
  6. Tentukan titik potong antara garis pada langkah 5 dengan ruas garis AE.
  7. Cari titik tengah antara titik tersebut dengan titik A, maka terbentuklah dua titik yang membagi rusuk kubus tersebut menjadi tiga ruas bagian yang sama panjang.
  8. Hilangkan garis bantu dan titik bantunya.

 Demikianlah cara menentukan posisi titik yang dapat membagi sebuah rusuk kubus dapat terbagi menjadi tiga ruas garis yang sama panjangnya. Selamat mencoba

December 19, 2014

Konstruksi Bangun Ruang

Penggunaan media matematika akan membantu memberikan kemudahan dalam memahami konsep-konsep matematika. Konsep matematika akan semakin bermakna jika konsep tersebut dipelajari menggunakan cara-cara yang lebih dekat dalam kehidupan nyata. Peran media untuk menjebatani antara konsep matematika dan kehidupan nyata sehingga konsep yang dipelajari menjadi lebih bermakna sangatlah penting. Media hanyalah sebuah alat, dimana alat tersebut tidak akan bermanfaat jika yang menggunakannya belum ahli atau belum paham kegunaan alat tersebut. Demikian juga dengan GeoGebra, Geogebra tidak akan berfungsi maksimal untuk digunakan sebagai media jika user/pengguna GeoGebra tersebut belum mampu menggunakannya.

Seorang guru matematika dapat menyuguhkan sebuah pengalaman belajar yang berbeda bagi siswanya dengan memberikan sebuah rancangan pembelajaran dengan menggunakan GeoGebra sehingga siswa dapat belajar konsep matematika dengan lebih bermakna sekaligus mengasah kemampuan/keahliannya menggunakan GeoGebra.

Penugasan untuk membuat sebuah konstruksi rumah dengan menggunakan GeoGebra dapat dijadikan sarana untuk melatih siswa belajar dan menggunakan konsep-konsep geometri. Pembuatan konstruksi rumah memerlukan berbagai hubungan dalam geometri, geometri ruang maupun datar. Siswa diberikan kebebasan kreasi untuk membuat konstruksi rumah yang diidamkan. Setelah selesai siswa diharapkan menceritakan konsep matematika apa saja yang digunakan untuk membuatnya.
Contoh ringan dapat dilihat sebagai berikut

December 10, 2014

Membuat Animasi GIF Jaring-Jaring Kubus

Situs wikipedia menuliskan bahwa Graphics Interchange Format (GIF) merupakan format grafis yang paling sering digunakan untuk keperluan desain website. GIF memiliki kombinasi warna lebih sedikit dibanding JPEG, namun mampu menyimpan grafis dengan latar belakang (background) transparan ataupun dalam bentuk animasi sederhana. Sebagai contoh sederhana, dibawah ini adalah gambar dengan format GIF yang dapat bergerak ketika dibuka dengan browser.
Selain digunakan untuk keperluan desain website, format GIF saat ini biasanya digunakan juga  dalam slide power point sebagai animasi bergerak, sehingga tampilan slide menjadi lebih hidup.

Untuk membuat animasi bergerak dengan format GIF dapat digunakan beberapa software grafis yang ada saat ini, misalnya macromedia dan photoshop. Selain itu banyak pilihan software lain yang dapat digunakan, salah satunya adalah GeoGebra. GeoGebra merupakan software untuk matematika sehingga bagi pengguna yang ingin mendesain gambar bergerak yang berhubungan dengan matematika dapat memanfaatkan software.


Untuk membuat gambar bergerak dengan GeoGebra, maka yang perlu disiapkan adalah slider. Slider ini berfungsi sebagai acuan gambar dalam beranimasinya. Sehingga gambar yang tidak dikonstruksi dengan slider maka gambar tersebut tidak dapat dikonversi ke format GIF.

Sebagai bahan untuk belajar, kita dapat menyaksikan tutorial bagaimana cara membuat animasi gif pada jaring-jaring kubus seperti tampilan di atas. Video tutorialnya dapat disaksikan berikut ini:

December 4, 2014

Stereo Images


Perpaduan dua polihedron yang sama akan menghasilkan sebuah polihedron baru yang cukup menarik. Dengan sedikit berkreasi menggunakan GeoGebra kita dapat membuat sebuah polihedron di atas. Bagi yang tertarik untuk berkreasi membuat berbagai perpaduan dua polihedron yang sama dapat berlatih dengan menggunakan polihedron sederhana terlebih dahulu, misalnya seperti gambar di atas yang merupakan perpaduan antara dua tetrahedron dengan ukuran yang sama.
Selamat mencoba!

December 1, 2014

Polihedron Kecil

Dalam Ensiklopedia Matematika disebutkan bahwa atom-atom didalam molekul-molekul seringkali tersusun dalam bangun-bangun tiga dimensi yang beraturan.
Model ini menampilkan metan. Empat atom hidrogen, di sini berwarna biru, membentuk tetrahedron beraturan mengelilingi atom karbon pusat yang berwarna merah.

Model tersebut dapat dibuat menggunakan GeoGebra. Bagaimana membuatnya....? Silahkan mencobanya sebagai latihan untuk menggunakan GeoGebra.