January 16, 2015

Membuat Simulasi Bilangan Pecahan (2)

Pada tulisan terdahulu kita sudah berlatih membuat simulasi pecahan dalam bentuk gambar (baca tulisannya di sini ). Tulisan kali ini melanjutkan pembahasan tentang pembuatan simulasi pecahan dalam bentuk pecahan senilai. Misalnya akan ditunjukkan bahwa  $\frac {3}{7}$ senilai dengan $\frac {6}{14}$
Langkah-langkah yang dilakukan adalah:
  1. Siapkan lembar GeoGebra
  2. Ketikkan "Polygon[(0, 0), (5, 0), (5, 2), (0, 2)]" pada menu input untuk membuat sebuah poligon. Modifikasi poligon tersebut dengan mengatur warna pada black dan opocity 0.
  3. Ketikkan D=5, N=3 dan S=5/D.
  4. Ketikkan " Sequence[Polygon[(i, 0), (i + S, 0), (i + S, 2), (i, 2)], i, 0, S (N - 1), S]". Modifikasi object ini dengan warna blue dan opocity 25.
  5. Untuk membuat media ini interaktif, maka diperlukan slider, sehingga buatlah slider dengan nama v yang mempunyai nilai minimum 1 dan maksimum 10 serta tingkat perubahannya (increement) 1.
  6. Untuk membuat bentuk pecahan senilai, maka ketikkan di menu input "N*v" dan "D*v".
  7. Pada menu input ketikkan "Sequence[Polygon[(i, 0), (i + S / v, 0), (i + S / v, 2), (i, 2)], i, 0, Max[S (N - 1 / v), 5 - S / v], S / v]". Lakukan modifikasi object ini dengan mengatur warna pada black dan opocity 0.
  8. Untuk menguji rumus-rumus tersebut berhasil, gerakkan slider-nya, jika berhasil maka dalam poligon yang dibuat akan terbagi menurut hasil slidernya.
  9. Selanjutnya buat sebuah teks dengan nama Pecahan = -------.
  10. Kemudian buatlah input box dan hubungkan dengan "N" sebagai pembilang, dan letakkan di atas garis pada pecahan. Edit input box ini, pada style isikan angka 5, kemudian jangan lupa ceklistlah fix object dan hilangkan cek list show label.
  11. Lakukan hal yang sama pada langkah 10 untuk membuat penyebutnya dengan menghubungkan "D".
  12. Untuk membuat teks yang dapat terhubung dengan bentuk yang ekiuvalen dengan pecahan yang dibuat, maka buatlah teks yang berisi "Ekuivalen dengan $\frac{ }{ }$. Pada tanda {} hubungkan dengan nilai yang diperoleh pada langkah 6 sehingga terbentuklah pecahan yang senilai. (jangan lupa cek list latex-nya)
  13. Lakukan editing selanjutnya agar tampilan-nya dapat menarik untuk dilihat sesusai dengan selera masing-masing.
  14. Jika langkah-langkah tersebut sudah sesuai, dengan cara menggerakkan slider "v"  kita dapat mengamati perubahan nilai ekuivalen dari sebuah pecahan.
Selamat mencoba.
Referensi:
BUILDING DYNAMIC FRACTION BAR MODELS WITH GEOGEBRA by Thomas Cooper (http://www.geogebrajournal.com/index.php/ggbj/article/viewFile/54/50)
File GeoGebra: Simulasi Pecahan (2)

January 15, 2015

Membuat Simulasi Bilangan Pecahan (1)

Di Matematika bilangan pecahan mulai dikenalkan ke siswa sejak mereka sekolah di jenjang dasar. Materi bilangan pecahan sangat menarik untuk dikaji dan diperdalam oleh siswa, guru, dan siapapun yang memiliki keperluan dengannya. Berdasarkan pengalaman penulis mengajar di jenjang SMA, masih dijumpai siswa yang mempunyai pemahaman yang kurang tepat mengenai bilangan pecahan. Ketika dihadapkan pada operasi bilangan pecahan (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan dan akar) masih ditemui siswa SMA yang mengalami kesulitan dalam menyelesaikan operasi tersebut.

Kondisi semacam ini terkadang menimbulkan sebuah lingkaran permasalahan yang sulit ditemukan solusinya. Pada jenjang SMA mengasumsikan materi tersebut sudah  dikuasai di jenjang SMP, sedangkan jenjang SMP hanya melanjutkan pemahaman dari jenjang sebelumnya. Disini jenjang dasar akhirnya menjadi tumpuan kesalahan utama dalam hal ini, namun demikian mereka yang berada pada jenjang dasar sebenarnya sudah memberikan pembelajaran yang sesuai dengan kapasitas pembelajaran di SD tentang Bilangan Pecahan tersebut. Untuk pengembangan selanjutnya akhirnya diserahkan pada jenjang-jenjang berikutnya.

Menurut hemat penulis, hal ini tidak perlu terjadi jika semua pihak (guru, siswa dan semua yang berkepentingan) merasa sangat perlu untuk mengkaji ulang dalam rangka memahami konsep bilangan pecahan tersebut. Saat ini media untuk mempelajari masalah bilangan pecahan dapat dicari dengan mudah secara online, baik  artikel maupun media interaktif. Selain menggunakan yang sudah ada, kita juga dapat berkontribusi membuat media untuk memperjelas dan sekaligus memperdalam pemahaman kita tentang bilangan pecahan.

Pada tulisan kali ini, akan dibahas bagaimana merepresentasikan sebuah bilangan pecahan dalam bentuk gambar melalui program GeoGebra. Tulisan ini merupakan pengantar sebagai dasar mengembangkan media GeoGebra terkait bilangan pecahan.

Misalnya akan dibuat representasi dari  $ \frac{3}{5}$ seperti terlihat pada gambar di bawah:
Untuk membuat gambar tersebut, kita gunakan perpaduan perintah polygon dan sequence  di GeoGebra. (tulisan tentang Sequence baca di sini)

Langkah untuk membuat gambar tersebut adalah:
  1. Siapkan lembar GeoGebra
  2. Ketikkan "Polygon[(0, 0), (5, 0), (5, 2), (0, 2)]" pada menu input untuk membuat sebuah poligon
  3. Ketikkan D=5, N=3 dan S=5/D
  4. Ketikkan "Sequence[Polygon[(i, -3), (i + 1, -3), (i + 1, -1), (i, -1)], i, 0, D - S, S]" pada menu input untuk membuat poligon yang terbagi menjadi 5 bagian yang sama
  5. Ketikkan " Sequence[Polygon[(i, 0), (i + 1, 0), (i + 1, 2), (i, 2)], i, 0, 2, S]" pada menu input untuk membuat poligon yang terbagi menjadi 3 bagian yang sama pada poligon yang telah dibuat pada langkah kedua.
  6. Lakukan editing sesuai dengan selera sehingga dapat terlihat seperti gambar diatas.
  7. Langkah-langkah ini akan sedikit membingungkan, namun dengan cara mengulangi dan mencoba dengan berbagai angka yang disesuaikan maka hal ini akan menjadi lebih jelas.
  8. Selamat Mencoba
Untuk tulisan berikutnya, akan kita bahas penggunaan teknik ini untuk membuat media bentuk pecahan yang ekuivalen.

Referensi:
BUILDING DYNAMIC FRACTION BAR MODELS WITH GEOGEBRA by Thomas Cooper (http://www.geogebrajournal.com/index.php/ggbj/article/viewFile/54/50)
File GeoGebra: Simulasi Pecahan (1)

Baca tulisan berikutnya di SINI

January 11, 2015

Membuat Simulasi Penjumlahan Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan (wikipedia). Penjumlahan bilangan bulat mulai dikenalkan di sekolah pada jenjang dasar. Berdasarkan pengalaman yang terekam dalam memori penulis saat belajar penjumlahan bilangan bulat di sekolah, pada waktu itu dikenalkan dengan istilah "hutang-hutangan". Pembelajaran awal ini ternyata masih tererkam dengan baik hingga saat ini. Jujur saya katakan sungguh luar biasa penemu model "hutang-hutangan" ini.

Tanpa mengurangi rasa kagum dan terimakasih pada model hutang-hutangan ini, penulis mencoba menuangkan sebuah catatan kecil yang merupakan representasi para guru matematika kita dalam rangka menjelaskan cara menjumlahkan bilangan bulat tanpa menggunakan model hutang-hutangan, yaitu dengan menggunakan garis bilangan. Penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan sangat terbatas pada nilai-nilai yang relatif sedikit, namun demikian konsep penjumlahan dari bilangan bulatlah yang menjadi point pada penggunaan garis bilangan tersebut.


Agar lebih menarik, maka penjumlahan bilangan bulat menggunakan garis bilangan perlu dibuatkan media. Media yang akan dibuat menggunakan software GeoGebra dan berbentuk interaktif. Mudah-mudahan tulisan ini dapat membantu para guru kita untuk lebih kreatif membuat media ini nantinya.

Berikut langkah-langkah pembuatan simulasi penjumlahan bilangan bulat dengan garis bilangan menggunakan GeoGebra:
  1.  Siapkan sheet GeoGebra, dari viuw graphics klik kanan dan pilih graphics properties, kemudian lakukan langkah-langkah:
    • Pada tab yAxis, atur agar yAxis tersembunyi dengan cara menghilangkan tanda cek pada yAxis-nya.
    • Pada tab xAxis atur sedemikian rupa hingga jarak antar titik adalah satu (1) dan seting maksimum 10 dan minimumnya 10.
  2. Buatlah dua slider (a dan b) dengan nilai minumum -10 dan maksimum 10 serta jarak perubahan (increment)-nya 1.
  3. Buatlah dua titik yaitu A = (0 , 1) dan  B = A + (a , 0).
  4. Buatlah vektor yang menghubungkan antara titik A dan B tersebut.
  5. Buatlah dua titik lagi, yaitu C = B + (0 , 1) dan D = C + (b , 0) , kemudian buat vektor yang menghubungkan dua titik tersebut.
  6. Buat dua titik lagi, misalnya E = (0,0)  dan  F = (x(D) , 0)
  7. Buat ruas garis yang menunjujkkan hubungan antara A dan E, B dan C, serta F dan D.
  8. Lakukan operasi penjumlahan untuk menghasilkan nilai dari  a + b 
  9. Buatlah sebuah teks dinamis yang menghubungkan object-object pada penjumlahan bilangan bulat yang baru saja dibuat.
  10. Lakukan editing seperlunya sehingga tampilannya dapat menarik sesuai dengan selera masing-masing.
  11. Agar lebih jelas saksikan tutorialnya pada video berikut:

File GeoGebra yang telah dibuat juga dapat di download di sini atau langsung bisa dilihat berikut ini:


Demikian tutorial ini semoga bermanfaat dan harapannya dapat dikembangkan sesuai dengan kondisi yang ada.

January 10, 2015

Simulasi Benda Putar untuk Soal UN 2014

Ujian Nasional tahun 2015 sebentar lagi dilaksanakan. Untuk jenjang SMA diperkirakan dilaksanakan pada bulan April 2015 mendatang. Melakukan persiapan dalam rangka meraih kesuksesan untuk memperoleh nilai yang diharapkan merupakan hal yang cukup baik dilakukan oleh para siswa. Salah satu persiapan yang dapat dilakukan adalah dengan mempelajari soal-soal ujian yang telah diujikan pada tahun-tahun sebelumnya.

Untuk jenjang SMA program IPA salah satu soal yang diujikan pada tahun 2014 adalah masalah volume benda putar. Soal yang diujikan pada sebuah paket soal Ujian Nasional 2014 Program IPA adalah:
Agar lebih memahami soal tersebut, soal tersebut perlu disajikan dalam bentuk gambar atau simulasi yang pada akhirnya dapat menambah pemahaman dalam menyelesaikan soal-soal yang serupa. 

Pada tulisan kali ini akan mengupas bagaimana cara membuat simulasi benda putar yang ada pada soal ujian tersebut. Yang perlu dipersiapkan adalah membuat grafik dari soal yang diketahui tersebut.
Karena lingkaran belum berbentuk fungsi, maka lingkaran tersebut dibuatkan sebuah fungsi dengan membuat fungsi setengah lingkaran dengan rumus sqrt(4-x^2). Selanjutnya dibuatkan permukaan yang membentuk benda putar dari soal yang diberikan.

Rumus-rumus yang digunakan:
  • Surface[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, x(A), b, 0, α]
  • Surface[a, g(a) cos(b), g(a) sin(b), a, x(A), 2, b, 0, α]
Rumus-rumus diatas digunakan dengan ketentuan bahwa $f(x)=\sqrt{3} x^2$ dan $g(x)=\sqrt{4-x^2}$.
Apabila ketentuan-ketentuan diatas telah terpenuhi maka akan dapat dilihat bentuk benda putar yang dibuat berdasarkan soal diatas.
Sebagai bahan pembanding file GeoGebra dari soal tersebut dapat didownload di sini
Selanjutnya untuk berlatih dapat menggunakan soal-soal ujian nasional yang lain, dan dapat didownload di sini
Selamat mencoba....

Simulasi Benda Putar Versi 2

Pada tulisan sebelumnya telah dibahas tekhnik membuat simulasi volume benda putar menggunakan GeoGebra (Baca tulisannya di sini ). Pada tulisan kali ini akan dibahas tekhnik yang sama namun dengan sedikit tambahan menggunakan beberapa perintah yang telah ditulis juga sebelumnya.

Pada tekhnik kali ini digunakan gabungan perintah Surface dan Sequence. Perintah Surface sebagaimana diketahui digunakan untuk membuat permukaan atau kulit benda putar yang akan dibuat, sedangkan perintah Sequence digunakan untuk membuat barisan objek yang akan diputar.

Yang perlu disiapkan adalah lembar kerja GeoGebra 5 keatas dengan viuw aljabar, 2 dimensi dan 3 dimensi. Misalnya akan dibuat benda putar dari sebuah grafik f(x)=sin(2x + 1), maka langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
  1. Buat grafik fungsi dari f(x) = sin (2x +1) dengan menu input langsung
  2. Buat slider sudut alpha
  3. Buat kulit/permukaan benda putar dengan menggunakan rumus:
    • Surface[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, 1, b, 0, α]
  4. Buat barisan kurva dengan menggunakan perintah sequence yang digabungkan dengan perintah curve seperti berikut ini:
    • Sequence[Curve[a, f(a) cos(b), f(a) sin(b), a, 0, 1], b, 0, α, 30°]
  5. Edit seperlunya, maka benda putar telah terbentuk dengan cara menggeser slider sudut alpha
  6. Selamat mencoba

January 3, 2015

Menggunakan Perintah "Sequence" di GeoGebra

GeoGebra sebenarnya telah mempunyai fasilitas yang cukup lengkap dalam merepresentasi matematika. Tinggal kemampuan dari user GeoGebra untuk menggunakan fasilitas tersebut agar berguna dengan maksimal. Salah satu tujuan blog ini dibuat adalah sebagai tempat sharing tentang berbagai hal yang berhubungan dengan penggunaan GeoGebra agar diperoleh kebermanfaatan dari software ini secara maksimal. Pada tulisan kali ini dibahas perintah "Sequence" yang dalam versi Bahasa Indonesia "Barisan".

Perintah "Sequence" akan menghasilkan/menampilkan daftar/barisan obyek dari ekspresi matematika yang dibuat pada batasan tertentu. Perintah "Sequence" biasanya digunakan bersamaan dengan perintah yang lain. Perintah ini digunakan sebagai pendamping perintah lain untuk memperjelas sebuah konsep matematika.
Pada saat tulisan ini dibuat, perintah "Sequence" terdiri dari tiga kategori:
  1. Sequence[ <End Value> ]
  2. Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
  3. Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value>, <Increment> ]
Perintah-perintah tersebut dijelaskan sebagai berikut
  • Sequence[ <End Value> ] 
Perintah pertama adalah yang paling sederhana dan menghasilkan sebuah barisan bilangan asli. Contoh:
Sequence[100]
Perintah ini akan mengasilkan daftar bilangan asli sampai dengan 100.
  • Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value> ]
Perintah ini mempunyai tiga komponen utama:
Expression: format ini digunakan untuk membuat ekspresi matematika yang akan ditampilkan dalam daftar/barisan tertentu. Misalnya titik, ruas garis, kurva dan sebagainya.
Variable: format ini digunakan untuk mendefinisikan variabel yang digunakan dalam ekspresi matematika sehingga dapat dibaca oleh program.
Value: format ini berguna untuk menentukan batas bawah dan atas dari sebuah nilai yang digunakan oleh ekspresi matematika.
Contoh:
Sequence[(a, 0), a, -3, 5]
Perintah ini akan menghasilkan barisan titik pada sumbu x yang dimulai dari titik (-3,0) dan diakhiri pada titik (5,0).

Gambar dibawah ini merupakan penggunaan perintah Sequence untuk menunjukkan hubungan antara koordinat pada sumbu x dan sumbu y pada sebuah fungsi kuadrat.

Langkah yang perlu dilakukan untuk membuat gambar tersebut adalah:
  1. Membuat fungsinya, dengan mengertikkan f(x)=x^2 pada menu input langsung;
  2. Membuat daftar titik yang berada pada fungsi tersebut dengan cara mengetikkan: Sequence[(a, f(a)), a, -2, 2];
  3. Membuat daftar ruas garis yang menghubungkan antara koordinat sumbu x dan sumbu y sehingga bertemu pada titik yang berada pada fungsi tersebut. Perintah yang perlu diketikkan ada dua:
    1. Sequence[Segment[(a, 0), (a, f(a))], a, -2, 2]
    2. Sequence[Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], a, -2, 2]
  4. Selanjutnya ruas garis yang terbentuk diedit sepertlunya sehingga terbentuk garis putus-putus.
Sedikit penjelasan tentang perintah Sequence[Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], a, -2, 2].
Ekspresi matematika pada perintah ini adalah Segment[(0, f(a)), (a, f(a))], yang merupakan ekspresi matematika untuk membuat ruas garis dari dua titik, yaitu titik  (0,f(a)) dan titik (a,f(a)). Ekspresi ini dapat disesuaikan dengan keperluan apa yang digunakan.
  • Sequence[ <Expression>, <Variable>, <Start Value>, <End Value>, <Increment> ]
Perintah ini tidak jauh berbeda dengan perintah sebelumnya. Perintah ini hanya menambahkan format Increment. Format ini memberikan pilihan berapa jarak antara obyek satu dengan yang lainnya. Pada format sebelumnya jarak antara obyek satu dengan yang lain secara otomatis adalah satu satuan. Untuk keperluan tertentu maka format ketiga ini dapat digunakan. Contoh pada gambar dibawah ini menggunakan format ketiga:
Perintah yang digunakan adalah:
  1. Sequence[Segment[(a, 0), (a, f(a))], a, 0, 1, 0.05]
  2. Sequence[Segment[(a, g(a)), (a, f(a))], a, 1, 2, 0.05]
Perintah Sequence dapat digunakan untuk melengkapi perintah-perintah lain sesuai dengan keperluannya. Misalnya gambar berikut:

Selamat mencoba...

January 2, 2015

Mengenal Perintah "Surface" di GeoGebra

Surface yang dalam Bahasa Indonesia diartikan "permukaan" merupakan batasan kontinyu yang membagi ruang tiga dimensi menjadi dua wilayah (http://www.britannica.com/EBchecked/topic/575004/surface). Perintah "Surface" digunakan apabila menghendaki membuat sebuah permukaan dalam perspektif tiga dimensi, sehingga perintah ini hanya dapat terlihat hasilnya pada tampilan tiga dimensi. Walaupun demikian, sebenarnya "permukaan" adalah bagian dari bangun yang terkategori dalam dua dimensi.

Perintah "Surface" di GeoGebra mempunyai format dasar sebagai berikut:
Surface[ <Expression>, <Expression>, <Expression>, <Parameter Variable 1>, <Start Value>, <End Value>, <Parameter Variable 2>, <Start Value>, <End Value> ].



Secara umum perintah tersebut mempunyai tiga kategori dasar, seperti berikut:
Surface
Merupakan kata perintah yang memberikan komando kepada program untuk membuat sebuah permukaan
Expression
Format ini berisi ekspresi matematika yang akan divisualisasikan dan terdiri dari tiga ekspresi yang secara default mewakili urutan koordinat dari sumbu x, y dan z.
Parameter
Format ini terdiri dari dua bagian yang merupakan penterjemah dari ekspresi matematika yang digunakan sehingga perintah dari ekspresi matematika dapat didefinisikan oleh program GeoGebra dalam batasan yang ditentukan. Parameter yang harus dimasukkan ada dua dan bebas menggunakan parameter apa saja kecuali x,y dan z.

Sebagai contoh:
Surface[a² b³, a b², a³ b, a, 0, 1, b, 0, 1]
Perintah tersebut dapat dilihat bahwa akan membuat sebuah permukaan yang formatnya tersusun atas tiga ekspresi a² b³, a b², a³ b. Karena ekspresi matematikanya menggunakan parameter a dan b, maka dalam format parameter harus menyesuaikan agar ekspresi yang dibuat dapat diterjemahkan/dibaca oleh program GeoGebra, sehingga parameternya ditulis a, 0, 1 dan  b, 0, 1. Berarti a mempunyai batas 0 dan 1, demikian juga b. Apabila hendak membuat dengan batasan yang berbeda juga tidak menjadi masalah.

Hasil dari contoh di atas adalah:

Contoh yang lain:
Surface[a, a cos(b), a sin(b), a, 0, 1, b, 0, 180°]

Contoh berikutnya:
Surface[a, a² cos(b), a³ sin(b), a, -1, 1, b, 0, 360°]
Selamat mencoba dengan berbagai bentuk permukaan yang lain.