December 5, 2016

Menentukan Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Setelah beberapa postingan tentang penyelesaian program linier, strategi penyelesaian program linier dengan garis selidik, serta penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel, kali ini kita akan menggunakan GeoGebra untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier dua vaiabel. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dua variabel merupakan daerah penyelesaian yang memenuhi beberapa pertidaksamaan sekaligus. Menggunakan GeoGebra, daerah penyelesaian yang dimaksud dengan mudah ditentukan dan digambar.

Secara manual, penyelesaian sistem pertidaksamaan dapat menggunakan beberapa langkah yang awalnya dimulai dari menggambar garis persamaan linier, kemudian menentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan linier dan terakhir menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya dengan cara melihat irisan daerah dari masing-masing pertidaksamaan linier yang menyusunnya.

Tanpa maksud meninggalkan cara-cara manual, GeoGebra dapat kita manfaatkan untuk menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan linier hanya dengan sebuah ketikkan di menu input. Sebagai contoh kita akan menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier berikut:
4x + 5y ≤ 20
3x + y ≥ 6
x + 3y ≥ 6

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut, ketikkan langsung di menu input:
(4x + 5y ≤ 20) ∧ (3x + y ≥ 6) ∧ (x + 3y ≥ 6)
Secara otomatis akan terlihat daerah penyelesaiannya sebagai berikut:

Tanda ∧ bukanlah tanda topi (^) pada keyboard namun mengambil simbol ∧ (dan) dari simbol matematika yang ada.

Agar lebih mudah saksikan tutorial vidio berikut:


Bagaimana? Mudah bukan...., selamat mencoba.

December 2, 2016

Pentingnya Menggambar Kurva pada Penyelesaian Luas Daerah

Luas daerah menjadi kajian penting pada saat mempelajari integral tentu, kenapa demikian? Dasar pemikiran integral berkembang salah satunya adalah penggunaannya untuk menentukan luas daerah. Materi luas daerah berhubungan dengan integral tertentu, sehingga terkadang penentuan luas daerah suatu kurva yang dibatasi oleh kurva-kurva lain dapat langsung diselesaikan menggunakan integral tertentu tanpa harus menentukan daerah luasan yang dicari terlebih dahulu. Apakah hal semacam ini salah? Tentu tidak untuk beberapa kondisi tertentu, untuk memahaminya mari kita simak pembahasan contoh soal berikut.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2-6x+8$, garis $y = x-2$ dan sumbu X adalah ....

Jika kita mampu memahami soal ini, tentu kita akan berpikir dimana letak daerah yang dicari tersebut. Namun yang belum memahami maksud dari soal ini, maka akan langsung mencari titik potong anatara kurva dan garis, kemudian mengintegralkan dengan batas-batas tersebut sehingga hasilnya adalah 4,5 satuan luas.

Berbeda jika kita menggambar sketsa kurvanya terlebih dahulu untuk membantu penentuan daerah yang dicari kemudian baru menghitung luas daerahnya. Dengan menggunakan GeoGebra kita peroleh gambar kurvanya sebagai berikut:

Berdasarkan gambar yang dibuat, kita dapat melihat bahwa daerah penyelesaiannya adalah daerah a dan b, sehingga proses perhitungan luas daerahnya baru dapat dilakukan.




Untuk menghitung luas daerahnya digunakan integral sebagai berikut:
Perhitungan yang dilakukan menghasilkan nilai yang berbeda dengan ketika langsung menyelesaikan tanpa mengetahui letak daerah penyelesaiannya. Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa luas daerahnya adalah 3⅙ satuan luas.

Dari pembahasan di atas, jelas terlihat bahwa membuat gambar/sketsa kurva daerah penyelesaian sangatlah penting dalam penyelesaian luas daerah menggunakan integral.

November 27, 2016

Irisan Kerucut


Materi irisan kerucut merupakan salah satu materi pembelajaran matematika untuk jenjang SMA yang membahas tentang lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Materi irisan kerucut pada kurikulum 1994 sempat dikurangi content materinya, dan hanya dibahas secara implisit dengan materi lingkaran dan parabola yang mana pada kurikulum sebelumnya content materi irisan kerucut juga telah membahas elips dan hiperbola.

Pada kurikulum 2013, materi irisan kerucut dimunculkan kembali dengan membahas secara khusus pada lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Saya masih teringat pembelajaran di SMA ketika belajar irisan kerucut pada tahun 1997, guru matematika saya pada saat itu menjelaskan maksud irisan kerucut dengan menggambarkan sebuah kerucut yang diiris oleh sebuah bidang dengan beberapa posisi sehingga menghasilkan bentuk lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola. Media pada saat saya belajar waktu itu sangat terbatas sehingga penjelasan hanya dengan digambar, dan ternyata sampai saat ini saya masih mengingatnya.

Untuk saat ini, beragam media dapat digunakan untuk mensimulasikan irisan kerucut dengan mudah dan lebih menarik. Pada postingan kali ini, akan menyajikan bagaimana cara membuat simulasi irisan kerucut menggunakan GeoGebra. Berikut beberapa langkah dasar yang perlu dilakukan untuk membuat simulasi irisan kerucut menggunakan GeoGebra:


  1. Buat bidang yang melalui tiga buah titik
  2. Buat dua slider, slider pertama untuk number (misal slider b) slider kedua untuk sudut (misal slider α)
  3. Buat sebuah titik misal D=(0,0,b) dan vektor yang dimulai dari titik (0,0,0) dan D
  4. Translasikan bidang yang telah dibuat searah dengan vektor yang dibuat.
  5. Buat sebuah garis yang berhimpit dengan salah satu sumbu (bisa x atau y)
  6. Rotasikan bidang hasil translasi searah dengan garis yang dibuat dengan sudut putarnya adalah α
  7. Sembunyikan semua titik dan bidang kecuali bidang terakhir yang merupakan hasil rotasi
  8. Buat sebuah kerucut atau dua kerucut, kemudian buat irisannya
  9. Simulasikan dengan menggeserkan slider yang dibuat
Agar lebih jelas perhatikan vidio tutorial berikut:

Tutorial selanjutnya dapat dilihat di bawah ini:



Tutorial yang disajikan  di atas merupakan langkah dasar dan sederhana, sangat dimungkinkah langkah-langkah tersebut dimodifikasi agar simulasi yang disajikan lebih lengkap dan interaktif. Selamat mencoba dan semoga sukses untuk kita semua.

November 24, 2016

Mensketsa Grafik Persamaan Nilai Mutlak

Pada postingan kali ini, kita akan menanggapi sebuah pertanyaan dari salah satu pembaca blog yang berasal dari Bekasi. Pertanyaannya adalah bagaimana menyelesaikan soal sebagaimana tertera pada gambar di kegiatan 1.4 menggunakan GeoGebra.


Untuk membahasnya, pertama mari kita ingat kembali tentang apa itu nilai mutlak? Untuk itu mari kita baca terlebih dahulu postingan blog ini tentang nilai mutlak di: Nilai Mutlak.

Selanjutnya, untuk menyelesaikan kegiatan 1.4 di atas, kita hanya mengganti kertas grafik atau kertas berpetak menggunakan media GeoGebra berikut:
Kemudian buatlah grafik fungsi nilai mutlak dengan mengetikkan di menu input f(x)=abs(x+4) dan juga y =8. Setelah itu carilah titik potong antara kedua grafik menggunakan tool Intersect, kemudian bacalah absis titik potongnya yang merupakan penyelesaian persamaan nilai mutlak |x+4|=8.

Untuk penyelesaian secara aljabar, kita dapat menggunakan perintah solutions di CAS. Cara menggunakan perintah solutions dapat dibaca pada postingan: 


Untuk masalah pada kegiatan 1.4 ketikkan langsung solutions(abs(x+4)=8) di CAS, maka hasilnya akan langsung diperoleh, selanjutnya untuk analisis bisa mengikuti langkah-langkah pada lembar kegiatan.

Demikian yang dapat kita posting untuk menanggapi pertanyaan terkait kegiatan 1.4, agar lebih jelas dapat melihat tutorial berikut:

Terimakasih untuk kunjungan dan kepercayaannya pada blog kami, jika masih ada hal-hal yang kurang jelas kami siap membantu para pembaca mengenai beragam masalah GeoGebra.
Salam Pendidikan Matematika.

November 23, 2016

Mahasiswa Pendidikan Matematika Wajib Menguasi GeoGebra


Mahasiswa Pendidikan Matematika saat ini haruslah menguasai software-software matematika yang nantinya dapat mendukung peningkatan kompetensi dari mahasiswa tersebut. Penguasaan software matematika untuk saat ini sudah menjadi suatu kebutuhan dari setiap mahasiswa pendidikan matematika, hal ini dikarenakan mahasiswa harus dapat menyajikan atau membuat beragam representasi matematika dari konsep-konsep matematika yang dipelajari baik dalam bentuk gambar maupun simulasi.

Sebagai contoh, untuk menampilkan gambar sebuah persamaan bukanlah hal yang sulit ketika mahasiswa tersebut telah menguasai software-nya. Selain itu, melihat tingkat pengembangan teknologi saat ini, sangat dimungkinkan pembelajaran matematika di masa depan akan mengadaptasi penggunaan software-software matematika dalam pembelajarannya. Salah satu software matematika yang saat ini sedang hits adalah GeoGebra. Kalau boleh dikatakan, mahasiswa pendidikan matematika saat ini memang harus menguasai software GeoGebra ini.



GeoGebra merupakan software gratis dan sangat mumpuni sebagai alat bantu matematika, sehingga sangat cocok bagi mahasiswa pendidikan matematika untuk membantu menyelesaikan perkuliahannya serta ketika telah lulus dan menjadi pengajar metematika maka penguasaan software GeoGebra akan sangat membantu dalam pelaksanaan tugasnya sebagai pengajar matematika.

Itulah beberapa point penting yang kami sampaikan dalam rangka mengawali pelatihan GeoGebra di Universitas Muhammadiyah Metro Lampung yang diselenggarakan oleh HIMMAT UM Metro pada tanggal 20 November 2016. Pelatihan ini dilaksanakan sudah yang ke-empat kalinya, yang merupakan salah satu rangkaian agenda kegiatan milad HIMMAT UM Metro.


Dalam pelatihan GeoGebra ini, mahasiswa mempelajari dasar-dasar GeoGebra mulai dari mengenal fitur-fitur dan fungsi tool di GeoGebra, praktik menggambar bebas, praktik menggambar konstruksi, membuat gambar fungsi dari menu input, membuat daerah penyelesaian, integral, hingga akhirnya praktik dimensi tiga. Yang dipelajari memang masih dasar, dengan harapan mahasiswa dapat mengembangkan sehingga pelatihan yang dilaksanakan dapat menjadi bekal pengembangan.


Di sela-sela kegiatan, kami memperoleh informasi bahwa ada mahasiswa semester tujuh yang telah mengikuti pelatihan GeoGebra pada angkatan sebelumnya telah mampu mengembangkan kompetensi penguasaan GeoGebranya menjadi sebuah judul skripsi.

Di akhir kegiatan, kami sampaikan untuk pengembangan GeoGebra mahasiswa dapat memanfaatkan blog http://googebra.blogspot.co.id/ ini untuk belajar lebih lanjut. Semoga blog ini ke depan terus dapat bermanfaat bagi siapa saja yang ingin Belajar GeoGebra.


Akhirnya blog Belajar GeoGebra mengucapkan "Selamat dan Sukses untuk Milad HIMMAT UM Metro".

Jika anda tertarik dan berminat Belajar GeoGebra, bisa menghubungi tim blog Belajar GeoGebra melalui WA. 081541350720, kami siap memberikan pelatihan GeoGebra sesuai dengan keperluan Anda.

November 21, 2016

Nilai Pi dalam Sebuah Lagu Heavy Metal


Nilai π dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846 dan jika diteruskan nilai 𝝅 ini akan terus menghasilkan angka yang tidak ada habisnya. Pada beberapa postingan yang lalu kami telah sajikan penggunaan GeoGebra untuk simulasi nilai 𝝅 ini. Silahkan membaca kembali postingan tersebut pada link berikut:

Simulasi Nilai Pi Menggunakan GeoGebra 

Pada postingan kali ini, kita akan sedikit melakukan refresh dengan menyimak sebuah musik heavy metal melalui sebuah vidio. Sengaja ini kami sajikan untuk memberikan sedikit nuansa berbeda namun tetap pada konteks matematika. Dalam vidio yang berdurasi hampir 14 menit ini, menyajikan sebuah lagu tentang nilai pi dimana saking panjangnya nilai tempat desimal dari pi, membuat penyanyi, penari, pemusik dan ilustratornya tidak sinkron.

Lagu ini cukup bisa menjadi penyegaran bagi kita, merasa penasaran simak vidionya berikut ini:

Sumber:
https://www.youtube.com/watch?v=Skf8NTEnrO4


November 17, 2016

Membuat Permukaan (Kulit) Bola


Beragam manfaat dapat kita peroleh dari software GeoGebra untuk membuat berbagai animasi sebagai media penjelasan materi pembelajaran matematika, misalnya adalah penjelasan tentang permukaan bola atau kulit bola. Untuk membuatnya tidak diperlukan langkah yang panjang hanya dengan beberapa langkah dan klik saja maka animasi permukaan kulit bola sudah jadi.

Saran kami, gunakanlah  software GeoGebra terupdate sehingga bisa menggunakan fitur-fitur terbaiknya. Baiklah pada kesempatan kali ini kita akan praktik bagaimana cara membuat permukaan/kulit bola. Mari kita simak langkah-langkah praktis berikut:

  1. Siapkan lembar GeoGebra 2D dan 3D;
  2. Buatlah setengah lingkaran, misal setengah lingkaran dengan jari-jari 3. Ketik dan enter pada menu input:
    sqrt(9-x^2)
    maka akan diperoleh fungsi f(x) (hal ini kondisional dapat juga  h(x), g(x) dan seterusnya, pada contoh ini kita gunakan f(x))
  3. Buatlah slider sudut α;
  4. Ketik dan enter pada menu input perintah berikut:
    Surface[f, α]
    Untuk memahami maksud perintah ini dapat membaca tulisan tentang:
  5. Geser slider sudutnya untuk membuat animasi permukaan bola.
Demikian tutorial singkat cara membuat permukaan/kulit bola, agar lebih jelas simak vidionya berikut ini:


November 12, 2016

Membuat Grafik Fungsi Pertumbuhan

Salah satu manfaat dari fungsi eksponen adalah dapat digunakan sebagai alat untuk memperkirakan jumlah populasi di suatu tempat dalam bentuk sebuah fungsi pertumbuhan, misalnya pertumbuhan penduduk suatu daerah. Di GeoGebra fungsi pertumbuhan dapat dibuat dari data-data awal yang diketahui dengan menggunakan perintah khusus.

Perintah khusus untuk membuat fungsi pertumbuhan sekaligus grafiknya adalah "FitGrowth". Untuk memahami kegunaan perintah "FitGrowth", mari kita lakukan kegiatan berikut ini.


Pada tahun 2010 penduduk suattu daerah berjumlah sekitar 3,4 juta jiwa dengan pertumbuhan sekitar 1,5% per tahun, buatlah fungsi eksponen yang mewakili pertumbuhan penduduk di daerah tersebut beserta grafiknya!
Mula-mula siapkan tabel pertumbuhan penduduk dengan menggunakan spreadsheet di GeoGebra seperti gambar berikut:

Keterangan tabel:

  • Kolom A mewakili urutan tahun, dapat dimulai dari 1 atau 0, pada contoh ini kita mulai dari 0 untuk tahun awal.
  • Kolom B mewakili tahun, dan dibuat hingga tahun 2021.
  • Kolom C mewakili jumlah penduduk setiap tahunnya (dalam juta) dengan menambahkan jumlah penduduk sebelumnya dengan jumlah pertumbuhannya setiap tahunnya.
  • Kolom D mewakili koordinat titik yang merupakan pasangan antara urutan tahun dan jumlah penduduk pada tahun tersebut.
Buat list point dari kolom D sehingga diperoleh daftar list dengan nama list1. Ketikkan perintah ListGrowth[list1] pada menu input, maka grafik dan fungsi eksponen yang merupakan fungsi pertumbuhan dari masalah yang disajikan telah selesai dibuat.



Jika diselesaikan secara manual hasilnya adalah sebagai berikut:

Untuk lebih jelasnya simak vidio tutorialnya berikut ini:

Dengan melakukan kegiatan tersebut, kita dapat menyimpulkan kegunaan fungsi "FitGrowth" bukan?

November 9, 2016

Mengenal Perintah "Fit" di GeoGebra

GeoGebra memberikan banyak fasilitas yang dapat kita coba untuk digunakan dengan beragam manfaatnya. Salah satu fasilitasnya adalah perintah "Fit". Menurut terjemahan google "Fit" diterjemahkan sebagai "cocok, sesuai, dan pas", yang jika diterjemahkan dalam kamus besar bahasa indonesia kata "pas" berarti "tepat, tidak lebih tidak kurang, sepadan". Arti kata "fit" tersebut akan kita  lihat berdasarkan penggunaanya di GeoGebra sehingga kita dapat memahami maksud  dari perintah "fit" itu sendiri.

Untuk memahami fungsi perintah fit di GeoGebra, mari kita lakukan kegiatan berikut ini.
Perhatikan beberapa titik pada gambar berikut:
Gambar 1
Dari beberapa titik tersebut kita dapat membuat sebuah grafik fungsi yang melalui atau mendekati titik-titk tersebut yang sebelumnya harus kita perkirakan bentuk grafiknya. Dari titik-titik pada gambar tersebut, kita dapat memperkirakan beberapa bentuk grafik sebagai berikut:
Gambar 2
Gambar 2 dapat kita perkirakan bahwa fungsinya berbentuk fungsi kuadrat, sehingga dengan menggunakan perintah "Fit" nanti akan diperoleh grafik fungsi kuadrat yang paling bersesuaian atau yang paling mendekati titik tersebut.
Gambar 3


Pada gambar 3 dapat kita perkirakan bahwa fungsinya berbentuk fungsi pangkat 3, sehingga dengan menggunakan perintah "Fit" nanti akan diperoleh grafik fungsi pangkat 3 yang paling bersesuaian atau yang paling mendekati titik tersebut.

Dari beberapa perkiraan grafik fungsi tersebut, kita dapat membuat beberapa grafik dengan menggunakan perintah Fit. Untuk membuatnya, pertama yang harus disiapkan adalah daftar titik-titik yang akan dijadikan acuan pembuatan grafik tersebut.

Untuk membuat daftar titik-titik dapat digunakan fasilitas spreadsheet, yaitu dengan membuat daftar titik-titiknya pada spreadsheet, kemudian tandai semua titik-titik tersebut dan klik kanan kemudian pilih create list , maka akan terbentuk sebuah daftar titik-titik dengan nama list1 atau kondisional tergantung dari situasi pekerjaan saat membuatnya.
Gambar 4


Selanjutnya, mari kita gunakan perintah "Fit" untuk membuat grafik fungsi kuadrat yang bersesuaian dengn titik-titik yang telah dibuat tadi dengan mengetikkan perintah:
"Fit[list1, {x², x}]" pada menu input, hasilnya akan diperoleh grafik fungsi sebagai berikut:


Gambar 5
Untuk membuat grafik fungsi pangkat 3 yang bersesuaian dengn titik-titik yang sama kita ketikkan perintah:
"Fit[list1, {x³, x}]" pada menu input, hasilnya akan diperoleh grafik fungsi sebagai berikut:
Gambar 6
Dari kegiatan tersebut, kita sudah dapat menyimpulkan dan memahami maksud dari fungsi "Fit" bukan?


November 6, 2016

Aplikasi Belajar GeoGebra di Android

Saat ini kami sajikan belajar geogebra dalam bentuk aplikasi android, dimana para pengguna android akan lebih mudah mengakses blog ini tanpa harus mengetikkan alamat blog di browsernya masing-masing. Aplikasi ini kami beri nama Belajar GeoGebra versi 0,1. Aplikasi ini mudah-mudahan segera bisa kita unggah di playstore.

Silahkan mendownload aplikasinya pada link berikut:


Link Download 1: apk Belajar GeoGebra

Link Download 2: apk Belajar GeoGebra

Atau scan barcode berikut:

November 3, 2016

Lingkaran Luar dan Dalam Segitiga

Di matematika kita mengenal istilah lingkaran dalam dan lingkaran luar. Istilah ini digunakan pada lingkaran yang dibuat atau dikonstruksi dari sebuah segitiga, sehingga lingkaran yang berada di dalam segitiga dinamakan lingkaran dalam segitiga dan lingkaran yang didalamnya terdapat segitiga dinamakan lingkaran luar segitiga.

Namun, apakah lingkaran yang berada di dalam segitiga pasti disebut sebagai lingkaran dalam segitiga? Ataukah lingkaran yang didalamnya terdapat segitiga dipastikan sebagai lingkaran luar segitiga?

Untuk mengetahuinya, mari kita simak cara membuat lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga menggunakan GeoGebra berikut.

Lingkaran Luar Segitiga




Untuk membuat lingkaran luar segitiga, siapkan sebuah segitiga sebarang terlebih dahulu. Kemudian buat dua garis tegak lurus yang berada tepat di tengah sisi dua sisi segitiga. Selanjutnya tentukan titik potong kedua garis tersebut yang akan menjadi titik pusat dari lingkaran luarnya. Langkah berikutnya adalah membuat lingkaran dengan titik pusat tersebut dan melalui ketiga titik sudut segitiganya.

Simak tutorial membuat lingkaran luar dengan bantuan GeoGebra pada vidio berikut:

Lingkaran Dalam Segitiga



Untuk pembuatan lingkaran dalam segitiga, langkah awal yang perlu dilakukan adalah menyiapkan sebuah sebarang segitiga. Selanjutnya, tentukan titik pusat lingkaran dalamnya dengan cara mencari titik potong dua garis bagi yang dibentuk dari dua sudut segitiga yang berbeda. Jari-jari lingkaran dalam dapat ditentukan dengan membagi luas segitiga dengan setengah keliling segitiganya. Langkah terakhir adalah membuat lingkaran dengan titik pusat dan jari-jari yang telah ditentukan pada langkah sebelumnya.

Agar lebih jelas, pelajarilah tutorial membuat lingkaran dalam segitiga berikut ini:

Cara lain membuat lingkaran dalam segitiga bisa menyimak tutorial berikut:


Berdasarkan pembahasan di atas, tentunya kita sudah dapat menyimpulkan tentang lingkaran luar dan dalam sebuah segitiga bukan?

November 2, 2016

Triks Cepat Menentukan Sudut Pada Ruang Dimensi Tiga


Selain masalah jarak pada ruang dimensi tiga, masalah sudut pada ruang dimensi tiga juga termasuk soal yang cukup sulit dikerjakan oleh sebagian siswa SMA pada ujian nasional. Jika masalah jarak pada ruang dimensi tiga dapat diselesaikan menggunakan GeoGebra, masalah sudut pada ruang dimensi tiga juga dapat diselesaikan menggunakan bantuan GeoGebra secara cepat.

Penggunaan GeoGebra hanyalah alat bantu, kompetensi geometri dan kompetensi penggunaan GeoGebra sangat diperlukan sebagai syarat agar GeoGebra dapat digunakan. Jadi GeoGebra bukan sekedar alat instan untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi khususnya pada masalah ruang dimensi tiga. Dengan GeoGebra diharapkan dapat membantu melatih dan mengasah kompetensi geometri sehingga kompetensi tersebut dapat meningkat yang pada akhirnya dapat menyelesaikan masalah sudut pada ruang dimensi tiga tanpa bantuan GeoGebra.

Mari kita simak soal ujian nasional tahun 2016 berikut:
Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dan bidang BDHF adalah ....
Kesulitan yang mungkin dialami dalam soal ini adalah menentukan dimana  letak sudut yang dimaksud, ketidaktepatan menentukan letak sudut akan berakibat pada penyelesaian soal yang kurang tepat.

Kali ini kita akan menggunakan GeoGebra untuk membantu penyelesaian masalah tersebut. Berikut ini langkah-langkah yang dapat digunakan:



  1. Buat kubus dengan panjang sisi 12 satuan di GeoGebra
  2. Buat bidang BDHF
  3. Buat garis AH
  4. Buat garis tegak lurus bidang BDHF yang melalui titik A dan tentukan tititk potongnya dengan bidang BDHF
  5. Buat segitiga melalui titik A, H, dan titik potong garis pada bidang BDHF
  6. Tentukan sudut yang terbentuk pada segitiga tersebut pada titik H
  7. Hitung nilai sinusnya menggunakan perbandingan sisi pada segitiga yang telah dibuat
  8. Selesai

Langkah-langkah di atas bukanlah langkah yang baku, masih dapat disesuaikan dengan kondisi yang ada, misalnya dari bidang BDHF dan garis AH langsung dapat dicari sudutnya, kemudian tinggal menentukan nilai sinusnya dari sudut yang telah terbentuk.

Penjelasan lebih lanjut dapat melihat tutorial pada vidio berikut:
Langkah-langkah lain sebagai pilihan juga dapat dilihat pada tutorial vidio berikut:


November 1, 2016

Teknik Cepat Menyelesaikan Soal Dimensi Tiga

Masalah jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga di Ujian Nasional SMA ternyata masih menjadi salah satu soal yang menyulitkan bagi siswa. Hal ini dimungkinkan karena beberapa sebab, diantaranya kesulitan merepresentasikan bangun ruang dimensi tiga pada bidang datar. Kesulitan lain yang mungkin adalah sulitnya siswa untuk menganalisis dan menalar serta menentukan dimana sesungguhnya jarak yang dimaksud.

Pemilihan dan penggunaan strategi untuk menghitung jarak dan kesalahan dalam perhitungan merupakan kesulitan yang masih sangat dimungkinkan terjadi. Untuk melatih siswa agar dapat belajar menganalisis dan menalar terkait jarak pada ruang dimensi tiga, kita bisa mencoba menggunakan GeoGebra sebagai alat bantu untuk belajar.

Berikut ini disajikan teknik mengerjakan soal jarak titik ke garis pada ruang dimensi tiga menggunakan GeoGebra dengan soal sebagai berikut:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Jarak titik C ke garis FH adalah .... 
Untuk menyelesaikan soal ini, gunakan langkah-langkah berikut:


  1. Siapkan lembar GeoGebra yang terdiri dari tiga tampilan utama: Algebra, graphic 2 D, dan graphic 3 D.
  2. Buat dua titik yang berjarak 5 satuan pada sumbu x  di jendela kerja graphic 2D, kemudian tutuplah tampilan graphic 2D sehingga area kerja tinggal algebra dan graphic 3D.
  3. Buat kubus dengan cara menghubungkan dua titik yang telah dibuat tadi, jika masih kesulitan membuatnya dapat membaca tulisan terkait di blog ini tentang kubus.
  4. Buat ruas garis FH, dan garis yang tegak lurus dengan ruas garis FH yang melalui titik C.
  5. Dari sini, kita dapat membuat perencanaan penyelesaian masalahnya.
    Misal dengan membuat segitiga sama sisi, kemudian menggunakan konsep trigonometri untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Misal jarak titik yang dimaksud adalah x seperti terlihat pada gambar berikut:

Maka kita dapat menggunakan konsep sinus sebagai berikut:
$\sin{60}^0=\frac{x}{5\sqrt{2}}$
$x=\frac{5}{2}\sqrt{6}$

Penyelesaian tersebut dapat langsung dikerjakan dalam lembar GeoGebra pada menu CAS. Gunakan perintah solutions. Untuk perintah solutions dapat membaca postingan terdahulu dengan judul:

Menggunakan Perintah "Solutions" untuk Penyelesaian Soal Matematika

Agar lebih jelas, simak tutorial berikut:



Sebagai bahan latihan, silahkan mencoba menyelesaikan soal-soal berikut ini:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis BD adalah .... (Soal UN 2016 IPA)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah .... (Soal UN 2016 IPA)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan…. (Soal UN 2015 IPA)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik N tengah–tengah AE. Jarak titik H ke BN adalah…. (Soal UN 2015 IPA)
Perlu diingat, GeoGebra hanya digunakan sebagai alat bantu belajar dimana harapannya siswa mempunyai kemampuan bernalar yang tinggi sehingga mampu menyelesaikan masalah pada ruang dimensi tiga dengan tepat.

October 28, 2016

Menggunakan GeoGebra untuk Pembuatan Histogram

GeoGebra dengan beragam fungsinya dapat kita manfaatkan untuk membuat histogram hanya dengan beberapa klik saja. Yang diperlukan adalah data yang akan dibuat histogramnya tersebut, misal diketahui data sebagai berikut:
Data tersebut akan dibuatkan histogram menggunakan GeoGebra, langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:



Siapkan view spreadsheet pada GeoGebra


Inputkan semua data yang akan dibuat Histogram pada spreadsheet di GeoGebra


Blok semua data yang akan dibuat histogramnya, kemudian klik gambar histogram pada sebelah kiri atas dan pilih One Variable Analysis


 Dari pilihan yang ada klik Analysis


Hasil langsung tampak


Pilih option untuk modifikasi tampilan

Langkah-langkah yang digunakan memang sedikit berbeda dengan tutorial yang telah kami posting dengan judul "Histogram", oleh karena itu kami sarankan untuk membaca potingan tersebut pada link berikut:

Histogram

Vidio pelengkap tutorial dapat dilihat pada chanel kami berikut:



Sebagai latihan, buatlah histogram dari data berikut:
65 67 65
45 66 76
73 87 45
57 75 34
56 84 45
68 68 56
83 78 43
77 77 56
42 89 67
65 65 66
71 70 51
80 61 45
61 58 53
52 70 42
Hasilnya bandingkan dengan histogram berikut:
Selamat mencoba!

October 21, 2016

Menggunakan Perintah "Solutions" untuk Penyelesaian Soal Matematika

Perintah "Solutions" merupakan perintah khusus di GeoGebra yang hanya berfungsi pada fitur CAS. Sehingga untuk menggunakan perintah Solutions, maka fitur CAS harus ditampilkan. Perintah "Solutions" dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah aljabar dari yang sederhana sampai dengan yang kompleks. Penyelesaian masalah disini lebih dominan kepada sebuah penyelesaian masalah persamaan  dan pertidaksamaan yang memuat variabel tertentu.

Pada dasarnya perintah solutions terdiri dari 3 (tiga) macam:
  1. Solutions[ <Equation> ]
  2. Solutions[ <Equation>, <Variable> ]
  3. Solutions[ <List of Equations>, <List of Variables> ]

Solutions[ <Equation> ]

Perintah ini digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan atau pertidaksamaan yang memuat sebuah variabel.

Misal:
Penyelesaian dari:
$2x+3=6x+2$
$x^2+4x+3=0$
$|2x+4|\geq|x+5|$
$9^{2x}-10. 9^x+9>0$
dan lain-lain

Solutions[ <Equation>, <Variable> ]


Perintah ini digunakan untuk menyelesaikan sebuah persamaan atau pertidaksamaan yang mana persamaan atau pertidaksamaan tersebut memuat beberapa variabel yang berbeda dan akan dicari sebuah penyelesaian dari salah satu variabelnya.

Misal untuk mencari nilai dari x pada persamaan berikut
$2a x+3=6x+2$

Solutions[ <List of Equations>, <List of Variables> ]

Perintah ini digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan yang mana persamaan atau pertidaksamaan tersebut memuat beberapa variabel yang berbeda dan akan dicari seluruh penyelesaian dari variabelnya.

Misalnya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebagaimana yang telah diposting pada tulisan:

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier 3 Variabel dengan GeoGebra


October 18, 2016

Menyelesaikan Pertidaksamaan Eksponen Menggunakan GeoGebra

GeoGebra merupakan sebuah software matematika yang sangat mumpuni khususnya di bidang geometri dan aljabar. Kemampuan GeoGebra yang sangat hebat tersebut dapat dimanfaatkan jika pengguna GeoGebra sendiri mampu menggunakannya. GeoGebra hanya sekedar alat, kehebatan alat tersebut dapat termanfaatkan jika yang menggunakan menguasai alat tersebut.

Salah satu kemampuan GeoGebra yang akan kita bahas kali ini adalah kemampuan GeoGebra menyelesaikan soal Pertidaksamaan Eksponen, dimana soal-soal ini sering muncul dalam ujian sekolah maupun ujian nasional matematika SMA. Sekali lagi, kami sampaikan bahwa GeoGebra hanya sekedar alat, dimana fungsi alat adalah membantu kita agar pekerjaan yang sulit dapat terselesaikan dengan mudah. Sehingga penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan eksponen digunakan sekedar untuk membandingkan antara penyelesaian manual secara aljabar dan penyelesaian otomatis menggunakan software adakah perbedaan ataukah sama.

Mari kita lihat penyelesaian soal ujian nasional SMA tentang pertidaksamaan eksponen berikut!



Penyelesaian manual tersebut akan kita bandingkan dengan hasil penyelesaian otomatis menggunakan GeoGebra. Berikut langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan soal tersebut menggunakan GeoGebra:

  1. Siapkan jendela GeoGebra dalam dua tampilan yaitu Algebra dan CAS
  2. Inputkan soal pada menu input langsung dengan cara mengetikkan soalnya sebagai berikut:
    3^(2x)-6(3^x)<27, kemudian enter.
  3. Hasil dari langkah kedua misalnya terdefinisi sebagai a .
  4. Gunakan perintah Solutions pada menu CAS dengan mengetikkan
    Solutions[a]
  5. Hasil dari langkah ke empat adalah
    ${\frac{ln(9)}{\ln(3)}<x}$
  6. Ternyata hasil yang diperoleh pada langkah ke lima tidak sama dengan perhitungan manual, disinilah perlu penjelasan konsep matematika secara manual. ln merupakan logaritma dengan basis bilangan natural atau e dan sesuai dengan sifat logaritma maka kita dapat merubah basis e tersebut dengan basis 3, sehingga:
    $\frac{ln(9)}{\ln(3)}=^3\log(9)=2$.
    Dengan menggunakan GeoGebra ketikkan pada menu input langsung ln(9)/ln(3) untuk mengetahui hasilnya, maka otomatis terhitung dan menampilkan bilangan 2.
  7. Dari hasil akhir ini, kita dapat menyimpulkan bahwa hasil perhitungan manual dan perhitungan otomatis menggunakan GeoGebra sama.
Untuk latihan, kita dapat mencoba menggunakan soal pertidaksamaan eksponen lainnya.
Selamat mencoba!!

Posted in

October 16, 2016

Penyelesaian Matriks Menggunakan GeoGebra

Matriks dapat didefinisikan sebagai susunan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Untuk menggunakan GeoGebra dalam urusan matiks memang agak sedikit berbeda, sehingga perlu kita sampaikan cara-cara penggunaan GeoGebra pada bahasan matriks ini.

Untuk menuliskan sebuah matriks di GeoGebra dapat dilakukan dengan beberapa cara, namun pada postingan kali ini akan dibahas satu cara saja. Agar mudah dalam membuat matriks di GeoGebra, perlu disiapkan terlebih dahulu lembar GeoGebra yang menampilkan jendela "algebra, CAS, dan spreadsheet".

Untuk membuat sebuah matriks, dimulai dari mengetikkan elemen-elemen matriks pada lembar spreadsheet. Misalkan kita akan membuat matriks seperti di bawah ini.

Tuliskan elemen-elemennya pada lembar spreadsheet sesuai dengan baris dan kolomnya, Setelah selesai, blok-lah elemen-elemen tersebut, kemudian klik kanan dan pilih "create matrix". Secara otomatis akan tampil pada jendela algebra matriks yang dibuat tersebut.

Untuk melakukan operasi pada matriks, bisa kita manfaatkan fitur CAS. Misal, akan dicari determinan dari matriks tersebut maka pada menu CAS ketikkan Determinant[matrix1], secara otomatis akan menampilkan nilai determinan dari matrix1 yang telah dibuat.

Untuk mencari invers-nya, cukup ketikkan Invert[matrix1] maka secara otomatis akan menampilkan invers dari matrix1.

Untuk penjumlahan dan perkalian, lakukan seperti operasi penjumlahan dan perkalian matriks biasa.
Coba gunakan sebagai latihan operasi berikut ini:

matrix1+matrix1
matrix1*matrix1

Bagaimana, mudah bukan? Selamat mencoba.
Download file Matriks di sini

October 12, 2016

Penyelesaian Sistem Persamaan Linier 3 Variabel dengan GeoGebra

Ada beberapa cara/metode dalam menyelesaikan sistem pertidaksamaan linier 3 variabel, antara lain:
1. Metoda Eliminasi
2. Metoda Subtitusi
3. Metoda Determinan
4. Metoda Matriks
5. Metoda Operasi Baris Elementer

Pada postingan kali ini, kita akan menggunakan GeoGebra sebagai alat bantu untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel sekaligus melihat representasi geometrinya. Pada pembelajaran sistem persamaan linier tiga variabel pada umumnya belum diperkuat dengan representasi geometri dari sistem persamaan tersebut,. Pembelajaran pada umumnya masih menekankan pada penalaran aljabar belaka dan belum sampai pada penalaran geometri, sehingga penggunaan GeoGebra sangatlah tepat karena dapat memberikan representasi geometri sistem persamaan linier 3 variabel secara langsung.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier 3 variabel menggunakan GeoGebra, kita akan menggunakan beberapa tampilan sekaligus yaitu:
1. Aljabar
2. CAS
3. Grafik 3D

Aljabar digunakan untuk membuat sistem persamaannya, CAS digunakan untuk mencari solusi dari sistem persamaan, Grafik 3 Dimensi untuk menampilkan grafik persamaan linear 3 variabel dan letak penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.

Persamaan linier 3 variabel memuat variabel x, y, dan z, sehingga di GeoGebra digambarkan sebagai bidang datar. Hal ini sesuai dengan koordinatnya, yaitu x, y, dan z.

Misalkan kita akan mencari penyelesaian dari sistem persamaan linier berikut:
Langkah-langkah yang perlu dilakukan adalah:

  1. Buat 3 persamaan linier tersebut dengan cara mengetik langsung pada menu input satu persatu, secara otomatis akan terbentuk bidang datar sebanyak tiga buah (misal terdefinisi sebagai bidang a, b, dan c). Dari 3 bidang datar tersebut terdapat sebuah titik yang merupakan perpotongan antara ketiga bidang datar tersebut.
  2. Ketikkan pada menu input di CAS
    Solutions[{a, b, c},{x, y, z}]
    maksudnya adalah mencari titik potong antara ketiga bidang a, b, dan c dengan variabel x, y, dan z.
  3. Dari langkah kedua tersebut akan diperoleh solusi dari sistem persamaan yang dibuat. Untuk menampilkan titik dari hasil solusi pada langkah 2 di atas, kliklah bulatan kecil di sebelah kiri solusi tadi, sehingga titik tersebut tampak pada grafik 3 D.
Maka penyelesaian sistem persamaan linier telah ditemukan dengan tambahan grafik 3 dimensi. Agar dapat memahami, silahkan praktikkan langkah-langkah di atas dengan menggunakan sistem persamaan linier yang sama.

October 11, 2016

GeoGebra 3D Grapher: Aplikasi GeoGebra 3 Dimensi Untuk Android

GeoGebra (www.geogebra.org) adalah software matematika dinamis yang gratis untuk semua tingkat pendidikan yang menggabungkan geometri, aljabar, lembar kerja, grafik, statistik dan kalkulus dalam satu paket yang mudah digunakan. Sumber belajar dan mengajar interaktif yang dibuat dengan geogebra dapat di bagi dan digunakan oleh siapa saja di tube.geogebra.org

GeoGebra adalah software matematika dinamis terfavorit di dunia, telah menerima banyak penghargaan software pendidikan, dan mendukung pendidikan STEM dan inovasi dalam belajar dan mengajar diseluruh dunia.

Itulah previuw dari GeoGebra yang ditawarkan ketika kita akan mendownload GeoGebra. Seiring dengan perkembangan teknologi, GeoGebra terus mengembangkan programnya hingga saat ini kita bisa menggunakan GeoGebra di smartphone android.

Setelah sukses merilis GeoGebra Graphing Calculator
sebagai aplikasi 2 Dimensi di playstore dan dapat digunakan pada smartphone android, kini GeoGebra meluncurkan aplikasi untuk 3 Dimensinya. Walaupun masih dalam kategori uji coba, kita sudah dapat mendownloadnya di playstore dan oleh GeoGebra software ini terus dilakukan penyempurnaan, sehingga kita bisa mengupdatenya jika sudah rilis penyempurnaan programnya.



Dari hasil uji coba, cukup menarik untuk digunakan. Hanya perlu beberapa penyesuaian saja, hal ini juga dapat menambah pengalaman belajar bagi kita. Bagi yang tertarik bisa mengunduhnya gratis di playstore melalui link berikut ini.

Selamat menggunakan!

Video GeoGebra Graphing Calculator

Video GeoGebra 3D Grapher
 

October 7, 2016

Download Bahan Ajar GeoGebra Gratis

GeoGebra merupakan software matematika yang cukup bermanfaat untuk menyajikan materi matematika baik untuk siswa, guru, mahasiswa maupun dosen. Penelitian tentang penggunaan geogebra memberikan hasil yang cukup positif. Agar geogebra dapat digunakan sebagai alat dan media pembelajaran matematika, sebaiknya siswa, guru, mahasiswa dan dosen mampu menggunakan software ini dengan baik.