February 29, 2016

Menggunakan ANOVA di GeoGebra

Analisis varian merupakan prosedur yang digunakan untuk menguji perbandingan rata-rata antara beberapa kelompok data. Biasanya pengujian ANOVA dilakukan secara manual atau juga menggunakan software statistik seperti SPSS atau Ms. Excel. Pada saat postingan ini dibuat, di GeoGebra penggunaan ANOVA masih sangat terbatas, sekedar menunjukkan hasil P value dan F test statistic. Jadi, jika kita akan menggunakan ANOVA sebagai alat uji penelitian, maka sebaiknya gunakan software SPSS atau Ms. Excel.

Namun demikian, karena di GeoGebra ada fasilitas/perintah perhitungan ANOVA, maka pada postingan kali ini kita akan membahas bagaimana cara menggunakan fasilitas/perintah ANOVA tersebut. Postingan ini hanya terfokus pada bagaimana menggunakan perintah ANOVA di GeoGebra, sehingga jika para pembaca ingin mempelajari dan menggunakan ANOVA untuk keperluan yang lebih, dapat mencari referensi lain melalui google.

Untuk menggunakan ANOVA, perlu disiapkan lembar spreadsheet di GeoGebra sebagai tempat membuat tabulasi data yang akan dianalisis menggunakan ANOVA.
Gambar 1. Spreadsheet di GeoGebra
Misalnya kita akan membandingkan tiga buah metode pada tiga kelompok yang berbeda dengan hasi seperti pada gambar berikut:
Gambar 2. Menyajikan Data di GeoGebra
Buat list menggunakan data pada spreadsheet yang sudah dibuat, dengan cara menseleksi seluruh data pada masing-masing kolom kemudian klik kanan dan pilih create list, secara otomatis akan terbentuk beberapa list sebagiaman tamapak pada gambar berikut:
Gambar 3. Cara Membuat List dari Spreadsheet
Setelah terbentuk 3 list, langkah selanjutnya ketikkan pada menu input langsung ANOVA[list1, list2, list3], kemudian enter dan akan diperoleh hasil dalam bentuk list4.
Gambar 4. List4 Sebagai Hasil Perhitungan ANOVA
Nilai list 4 adalah list4 = {0.81, 0,22} yang maksudnya adalah p value = 0,81 dan F test statistic (F Hitung) = 0,22. Demikianlah penggunaan perintah ANOVA di GeoGebra semoga bermanfaat.

February 23, 2016

Invers Fungsi

Jika suatu fungsi merupakan pemetaan antara himpunan A ke himpunan B  dengan domain berada pada himpunan A, maka invers dari fungsi tersebut merupakan hubungan antara himpunan A ke himpunan B dengan domain berada pada himpunan B. Jika inversnya menghasilkan sebuah fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers, namun jika inversnya bukan merupakan fungsi maka hanya disebut sebagai invers fungsi.

Jika suatu fungsi dilambangkan dengan $f(x)$, maka invers dari fungsi tersebut dituliskan dengan notasi $f^{-1} (x)$. Secara sederhana dapat kita lihat pada diagaram berikut:
Diagram fungsi $f(x)$


Diagram invers fungsi $f^{-1}(x)$
Suatu fungsi dikatakan memiliki fungsi invers, jika fungsi tersebut merupakan hubungan yang berkorespondensi satu-satu. Fungsi yang berkorespondensi satu-satu dapat dicari inversnya secara langsung menggunakan GeoGebra. Contoh akan dicari invers fungsi dari $f(x)=3x+4$ menggunakan GeoGebra. Langkah yang perlu dilakukan adalah:
  1. Buatlah fungsi tersebut dengan mengetik langsung pada menu input f(x)=3x+5.
  2. Ketikkan perintah Invert[f] pada menu input, maka kita sudah dapat melihat hasil dari inversnya $g(x)=\frac{x-4}{3}$ pada menu Algebra.
Invers dari fungsi tersebut dapat langsung dicari menggunakan cara tersebut, namun cara ini untuk beberapa bentuk fungsi tidak dapat digunakan karena tidak menghasilkan invers (undefined). Untuk masalah semacam ini, kita dapat menggunakan fasilitas lain dalam GeoGebra yaitu Computer Algebra System (CAS).

Sebagai contoh kita akan menentukan invers dari fungsi $f(x)=\frac{3x+2}{5x+6}$. Langkah yang perlu dilakukan adalah:
  1. Siapkan lembar GeoGebra dengan tiga tampilan Algebra, CAS, dan Graphics.
  2. Buat sebuah fungsi pada menu input dengan mengetikkan f(x)=(3x+2)/(5x+6).
  3. Untuk menentukan inversnya, kita gunakan fasilitas CAS dengan cara mengetikkan Invert(f) kemudian enter, maka inversnya akan langsung tertera pada baris di bawahnya.
  4. Untuk menampilkan grafik inversnya, klik tanda bulatan pada hasil invers di CAS-nya.
Invers Fungsi Menggunakan Fasilitas CAS di GeoGebra
Untuk fungsi-fungsi yang lain, juga dapat diselesaikan dengan cara ini. Jadi ketika menemukan hasil invers dari suatu fungsi adalah undefined, maka gunakan fasilitas CAS ini. Selamat mencoba.

February 14, 2016

Fungsi Komposisi

Kegunaan GeoGebra sebagai media untuk membantu memahami konsep matematika memang sangat banyak dan telah kita bahas pada beberapa postingan di blog ini, namun masih banyak juga penggunaan GeoGebra yang belum kita bahas. Pada postingan kali ini, kita akan membahas penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah fungsi komposisi.

Sebelum membahas penggunaan GeoGebra untuk fungsi komposisi, sebaiknya kita ingat kembali apa maksud dari fungsi komposisi tersebut. Perhatikan gambar berikut:

Jika $g(x)$ merupakan fungsi yang memetakan A ke B, dan $f(x)$ adalah fungsi yang memetakan B ke C, maka fungsi tunggal yang memetakan langsung A ke C dinamakan sebagai fungsi komposisi.

Untuk menyatakan bahwa fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi, maka fungsi tunggal tersebut dituliskan dengan menggunakan lambang operator bundaran ($\circ$), sehingga fungsi komposisi yang diperoleh dari $g(x)$ dan dilanjutkan dengan $f(x)$ dapat dituliskan  sebagai:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Sedangkan fungsi komposisi yang diperoleh dari $f(x)$ dan dilanjutkan dengan $g(x)$ dapat dituliskan sebagai:

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Secara sederhana dapat digambarkan sebagai berikut:


Selanjutnya, bagaimana GeoGebra dapat kita gunakan untuk menjelaskan konsep fungsi komposisi ini? Kita akan menggunakan hinpunan titik $(x,y)$ dimana $x$ adalah domain (daerah asal) dan $y$ merupakan range (hasil) dari sebarang fungsi. Untuk mudahnya kita buat saja fungsi $f(x)= x+2$, dan $g(x)=3-x$, serta kita akan mencari fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$.

Pada lembar GeoGebra buatlah dua fungsi tersebut, kemudian komposisikan dengan mengetikkan $f(g(x))$ pada menu input langsung yang secara langsung akan membentuk sebuah fungsi baru yaitu $h(x)$. Selanjutnya kita tentukan sebuah titik $A=(x,y)$ pada fungsi $g(x)$. Dari titik A ini kita buat titik B yang berada pada fungsi $f(x)$ dengan koordinat $x$ pada titik ini merupakan koordinat $y$ pada titik A, dan koordinat $y$ merupakan hasil dari $f(x)$. Untuk membuatnya ketikkan pada menu input langsung B=(y(A),f(y(A))), maka titik B ini akan secara otomatis berada pada $f(x)$. Untuk menunjukkan bahwa fungsi komposisi merupakan fungsi tunggal yang langsung memetakan A ke C, buat sebuah titik C pada $h(x)$ dengan cara menginput langsung C=(x(A),h(x(A))).

Dari titik A, B, dan C ini kita dapat melihat bahwa koordinat $y$ pada titik B dan C nilainya sama, sedangkan koordinat $x$-nya berbeda. Koordinat $y$ pada titik B diperoleh dari koordinat $y$ pada titik A dan koordinat $y$ pada titik A diperoleh dari koordinat  $x$ pada titik A, sedangkan koordinat $y$ pada titik C yang nilainya sama dengan koordinat $y$ pada titik B diperoleh langsung dari koordinat titik $x$ pada titik A. Untuk lebih mudahnya perhatikan lembar GeoGebra berikut:

Perlu dipahami bersama, bahwa GeoGebra digunakan bukan untuk menggantikan fungsi kita sebagai pebelajar matematika sehingga fungsi utama penalaran kita menjadi berkurang. GeoGebra digunakan sekedar sebagai alat bantu mempermudah proses penalaran kita, sehingga kita menjadi lebih jelas memahami konsep matematika yang dimaksud.

February 8, 2016

Bilangan Kompleks

Pada awalnya, matematika dikembangkan hanya sebagai alat bantu penyelesaian masalah kebutuhan manusia, sehingga matematika senantiasa berkembang sesuai dengan laju perubahan zaman. Salah satu perkembangan matematika adalah pada sistem bilangan.

Bertahun-tahun para ahli matematika menyusun berbagai sistem bilangan untuk memenuhi kebutuhan penyelesaian masalah matematika yang timbul. Salah satu persoalan para ahli matematika adalah bagaimana menyelesaikan satu persamaan suku banyak yang sederhana. Penyelesaian dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ dapat berupa akar-akar persamaan kuadrat yang tidak selalu merupakan bilangan real. Dengan demikian para ahli matematika merasa perlu untuk membentuk sebuah sistem bilangan baru, yang saat ini dikenal dengan nama Bilangan Kompleks. 

Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan yang berbentuk $a+bi$, dimana a dan b merupakan bilangan real dan $i$ adalah lambang dari bilangan baru yang dikenal dengan nama bilangan imaginer dan mempunyai sifat $i^2=-1$.

Bilangan kompleks dapat disajikan dalam beberapa cara:
  1. Pada tiap bilangan $a+bi$ dapat dikaitkan sebagai pasangan bilangan real terurut $(a,b)$, sebaliknya juga tiap pasangan bilangan real terurut $(a,b)$ dapat juga dikaitkan dengan bilangan kompleks $a+bi$.
    Contoh:
    $2+5i$ dapat juga disajikan sebagai $(2,5)$.
    $(2,3)$ dapat juga disajikan sebagai $2+3i$
  2. Apabila bilangan kompleks $x+yi$ dianggap sebagai pasangan bilangan real terurut $(x,y)$, maka bilangan tersebut secara metrik dapat disajikan sebagai sebuah titik pada bidang cartesius dengan koordinat-koordinat $x$ dan $y$.
    Jika bilangan kompleks tersebut disajikan sebagai titik $(x,y)$, maka kita tidak lagi menggunakan nama sumbu $x$ atau $y$, dan juga tidak memakai nama bidang cartesius. Sehingga sumbu $x$ dikatakan sebagai sumbu real, sumbu $y$ dinamakan sebagai sumbu imaginer serta bidang cartesius dinamakan dengan bidang argand.
    Di GeoGebra, bilangan kompleks dilambangkan dengan huruf $z$, sehingga ketika kita menuliskan $2+3i$ pada menu input langsung secara otomatis akan terbentuk sebuah titik di bidang argand-nya.
  3. Bilangan kompleks $x+yi$ dapat pula disajikan sebagi sebuah vektor yang berpangkal di titik $(0,0)$ pada bidang argand.


    Dari representasi bilangan kompleks dalam bentuk vektor, maka kita dapat menentukan panjang vektor tersebut dengan cara mencari nilai mutlak bilangan kompleks tersebut. Nilai mutlak bilangan kompleks $x+yi$ didefinisikan sebagai: $\left|x+yi \right| =\sqrt{x^2+y^2}$.
    Tutorial tentang bilangan kompleks menggunakan GeoGebra dapat disimak pada video berikut:

February 4, 2016

Layang-Layang Garis Singgung

Jika suatu garis memotong lingkaran pada satu titik dan tegak lurus terhadap diameter atau jari-jari lingkaran tersebut, maka garis tersebut disebut sebagai garis singgung lingkaran. Suatu garis singgung lingkaran yang dibuat dari sebuah titik yang berada di luar lingkaran akan menghasilkan dua garis singgung lingkaran yang berbeda seperti terlihat pada gambar berikut:
Jika diperhatikan, garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran membentuk sebuah polygon berbentuk layang-layang. Polygon inilah yang disebut sebagai layang-layang garis singgung liingkaran.

Cara membuat layang-layang garis singgung  dapat kita simak pada video tutorial berikut:


Contoh layang-layang garis singgung dapat kita lihat pada sheet GeoGebra berikut:
Selamat mencoba dan mengeksplorasi hasil dari layang-layang garis singung.