February 19, 2017

Dilatasi

Dalam kehidupan sehari-hari terkadang kita perlu melihat benda yang kecil agar dapat terlihat lebih jelas dengan cara memperbesar tampilan benda tersebut menggunakan alat bantu yang sesuai, misalnya mikroskop, teropong, kamera, dan sebagainya. Di lain kesempatan justru sebaliknya, benda yang besar diperlukan agar tampilannya kelihatan lebih kecil, misalnya untuk melihat bentuk sebuah pulau, gunung, atau bahkan bumi diperlukan bentuk yang lebih kecil agar dapat teramati.

Bentuk-bentuk yang merupakan hasil perbesaran atau pengecilan itu sebenarnya telah mengalami proses dilatasi. Dilatasi dapat diartikan sebagai perkalian dengan sebuah faktor yang dapat menghasilkan bayangan obyek menjadi lebih besar atau lebih kecil dari objek sebenarnya. Karena perbesaran atau perkecilan objek yang didilatasi tergantung dari faktor pengalinya, maka untuk menentukan hasil dari dilatasi sebuah objek cukup kalikan setiap objek yang didilatasi dengan faktor pengalinya.



Kita dapat memanfaatkan GeoGebra sebagai media untuk meningkatkan pemahaman tentang dilatasi. Berikut ini beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk membuat dilatasi menggunakan GeoGebra:

  1. Buat sebuah slider yang berfungsi sebagi faktor pengali dilatasi.
  2. Buat atau tentukan sebuah objek yang akan didilatasi.
  3. Gunakan rumus atau perintah Dilate[ <Object>, <Dilation Factor> ] atau Dilate[ <Object>, <Dilation Factor>, <Dilation Center Point> ]
Perhatikan contoh pada tutorial berikut ini:

Agar penggunaan GeoGebra untuk dilatasi dapat dikuasai dengan baik, maka perlu kita mencoba menggunakan perintah dilatasi ini pada berbagai keadaan. Jika yang dicontohkan di atas adalah dilatasi objek dari sebuah objek yang disisipkan, maka kita dapat mencoba dengan objek lain berupa titik atau kurva yang dibuat menggunakan GeoGebra.
Prinsip pendilatasian tidak ada perbedaan dengan contoh yang telah disajikan di atas. Jika mengalami kesulitan dapat bertanya dengan cara mengisi komentar di bawah. Selamat mencoba....

February 16, 2017

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa Menggunakan GeoGebra

Sebelum membahas cara menyelesaikan persamaan diferensial biasa menggunakan GeoGebra, mari kita lihat beberapa pengertian dari persamaan diferensial berikut:

  • Persamaan Differensial adalah Persamaan yang mengandung beberapa turunan dari suatu fungsi
  • Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang mempunyai fungsi satu variable bebas
  • Persamaan Differensial Parsial adalah Persamaan yang mempunyai fungsi dengan jumlah variable bebas lebih dari satu
Persamaan Diferensial Biasa dalam bahasa inggris disebutkan sebagai Ordinary Differential Equations (ODE), sehingga dalam pembahasan penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah persamaan diferensial biasa ini akan digunakan perintah "SolveODE".

Perintah SolveODE dapat digunakan langsung untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan cara mengetikkan langsung perintah SolveODE dan bentuk persamaan diferensial yang akan diselesaikan tersebut.

Terdapat 10 cara penggunaan perintah SolveODE yang masing-masing perintah mempunyai keguanaan masing-masing. 10 perintah SolveODE tersebut adalah sebagai berikut:

Input Syntax:

  1. SolveODE[ <f'(x, y)> ]
  2. SolveODE[ <f'(x, y)>, <Point on f> ]
  3. SolveODE[ <f'(x, y)>, <Start x>, <Start y>, <End x>, <Step> ]
  4. SolveODE[ <y'>, <x'>, <Start x>, <Start y>, <End t>, <Step> ]
  5. SolveODE[ <b(x)>, <c(x)>, <f(x)>, <Start x>, <Start y>, <Start y'>, <End x>, <Step> ]
CAS Syntax:
  1. SolveODE[ <Equation> ]
  2. SolveODE[ <Equation>, <Point(s) on f> ]
  3. SolveODE[ <Equation>, <Point(s) on f>, <Point(s) on f'> ]
  4. SolveODE[ <Equation>, <Dependent Variable>, <Independent Variable>, <Point(s) on f> ]
  5. SolveODE[ <Equation>, <Dependent Variable>, <Independent Variable>, <Point(s) on f>, <Point(s) on f'> ]
Pembahasan pada postingan kali ini akan membahas perintah SolveODE[ <f'(x, y)> ] pada menu input. Sebelum melanjutkan pembahasan, ada beberapa hal yang harus dipahami terlebih dahulu agar perintah SolveODE[<f'(x,y)>] dapat memberikan hasil yang sesuai.

Supaya perintah SolveODE[ <f'(x, y)> ] memberikan hasil yang semestinya, terlebih dahulu persamaan diferensialnya diubah menjadi bentuk dy/dx. Perhatikan penggunaan perintah SolveODE untuk menyelesaikan beberapa soal persamaan diferensial berikut.

Carilah penyelesaian umum dari persamaan diferensial $\frac{dy}{dx}= (1+x)(1+y)$
Soal di atas dapat langsung diselesaikan dengan mengetikkan perintah berikut pada menu input langsung:
SolveODE[(1+x)(1+y)]


Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Keterangan gambar:

  • f(x) menunjukkan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diinputkan
  • c1 merupakan nilai dari konstantan (c) yang nilainya dapat berubah-ubah, pada gambar di atas diberikan nilainya 1
Cari penyelesaian umum dari persamaan diferensial $(x+y)dx +x dy=0$
 Untuk menyelesaikan soal ini kita perlu merubahnya menjadi bentuk umum $\frac{dy}{dx}$, sehingga bentuk persamaan diferensial $(x+y)dx +x dy=0$ akan menjadi $\frac{dy}{dx}= \frac{-(x+y)}{x}$. Bentuk terakhir inilah yang dapat diinputkan ke GeoGebra agar dapat diperoleh penyelesaian-nya.

Ketikkan perintah berikut pada menu input langsung:
SolveODE[(-(x + y)) / x]

Hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Keterangan gambar:

  • f(x) menunjukkan penyelesaian umum dari persamaan diferensial yang diinputkan
  • c1 merupakan nilai dari konstantan (c) yang nilainya dapat berubah-ubah, pada gambar di atas diberikan nilainya 1
Dengan menggunakan dua contoh tersebut, diharapkan para pembaca blog ini dapat memahami dan mempraktikkan perintah SolveODE dalam mencari penyelesaian persamaan diferensial biasa. Perintah SolveODE yang lain, mudah-mudahan dapat kita bahas dalam kesempatan berikutnya. Selamat mencoba, bagi yang belum jelas dapat berkomentar di bawah postingan ini.

February 6, 2017

Membuat Simulasi Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan salah satu materi mata pelajaran matematika yang diajarkan pada jenjang SMP dan SMA. Fungsi kuadrat dapat juga disebut sebagai fungsi parabola, karena bentuk dari grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Grafik fungsi kuadrat dapat berupa grafik yang terbuka ke atas atau terbuka ke bawah.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang kondisi-kondisi seperti apa yang menyebabkan grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas atau terbuka ke bawah, sebaiknya kita lihat terlebih dahulu bentuk umum dari fungsi kuadrat berikut:
$f(x)= ax^2+bx+c$

Agar lebih mudah dan kita mampu menyimpulkan kondisi yang seperti apa sehingga grafik fungsi kuadrat harus terbuka ke atas ataukah terbuka ke bawah, maka kita dapat menggunakan GeoGebra sebagai alat bantu simulasi grafik fungsi kuadrat tersebut.

Berikut ini langkah-langkah membuat simulasi grafik fungsi kuadrat menggunakan GeoGebra:
  1. Buka lembar GeoGebra
  2. Buatlah 3 slider, yaitu slider a, slider b, dan slider c.
  3. Pada menu input ketikkan ax^2+bx+c
  4. Untuk mengetahui beragam kondisi grafik fungsi kuadrat, geserlah slider a, b atau c.

Melalui kegiatan tersebut, kita akan dapat menyimpulkan berbagai kondisi dan posisi grafik fungsi kuadrat dengan membandingkan nilai slider a, b, dan c dengan perubahan grafik fungsi kuadrat yang dibuat. Menggunakan media ini, diharapkan pembelajaran matematika menjadi lebih menyenangkan dan bermakna.

Agar lebih jelas, simak vidio tutorialnya berikut ini:


Selamat mencoba, jangan lupa subscribe chanel kami dan like fanspage kami ya....

February 1, 2017

Menyelesaikan Masalah Jurusan Tiga Angka

Jurusan tiga angka merupakan salah satu penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari, meskipun dalam praktiknya saat ini sudah banyak digunakan aplikasi yang memudahkan sebagai substitusi dari jurusan tiga angka tersebut. Namun demikian, jurusan tiga angka masihlah sangat penting untuk dipelajari sebagai sarana memperkuat konsep matematika khususnya masalah sudut dan trigonometri.

Secara manual untuk menggambar jurusan tiga angka dapat digunakan peralatan busur dan penggaris serta kertas berpetak. Kali ini kita akan membahas penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah jurusan tiga angka ini. Sebelumnya perlu dipahami bahwa pengukuran sudut di jurusan tiga angka berpedoman pada arah utara dan sudut diukur searah dengan jarum jam.

Berikut ini kita contohkan penggunaan GeoGebra untuk menyelesaikan masalah jurusan tiga angka dimulai dengan masalah yang sederhana.
Gambarlah sebuah titik  yang berjarak 4 satuan dari titik (0,0) dengan jurusan 035°
Langkah-langkahnya sebagai berikut:

  • Buat sebuah titik pada sumbu y dan berjarak 4 satuan dari titik asal B= (0,0), misal A=(0,4)
  • Buat sudut 35 derajat searah putaran jarum jam dan melalui titik A dan titik asal, sehingga diperoleh titik A', titik A' inilah yang merepresentasikan titik A yang berjarak 4 satuan dari titik B =(0,0)


Sebuah pesawat terbang ke arah 120°, kemudian berbelok ke jurusan 240°, buatlah sketsa penerbangan pesawat tersebut
Langkah-langkah penyelesaiannya:

  • Buat sebuah titik pada sumbu y misal titik A dan sebuah titik asal B=(0,0)
  • Dari titik tersebut buat sebuah sudut 120 derajat sehingga diperoleh sebuah titikA'
  • Buat sebuah garis yang sejajar dengan sumbu y dan melalui titik A'
  • Buat sebuah titik pada garis yang telah dibuat tersebut, misal titik C
  • Buat sudut 240 derajat melalui titik C dan titik A' sehingga diperoleh titik C'
  • Buat ruas garis yang melalui titik B dan A', kemudian titik A' dan C', ruas garis tersebutlah sketsa penerbangan dari pesawat tersebut

Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan 1 menuju ke pelabuhan 2 yang jaraknya 400 km dengan arah 080° , kemudian dari peabuhan 2 berlayar lagi menuju pelabuhan 3 sejauh 600 km dengan arah 170°. Sketsa gambarnya dan tentukan jarak antara pelabuhan 1 dan 3 !
Langkah-langkah penyelesaian:

  • Buat sebuah titik pada sumbu y misal titik A=(0,4) (400 km = 4 satuan) dan sebuah titik asal B=(0,0)
  • Dari titik tersebut buat sebuah sudut 80 derajat sehingga diperoleh sebuah titikA'
  • Buat sebuah garis yang sejajar dengan sumbu y dan melalui titik A'
  • Buat sebuah titik pada garis yang telah dibuat tersebut, misal titik C (x(A'), (6+y(A'))
  • Buat sudut 170 derajat melalui titik C dan titik A' sehingga diperoleh titik C'
  • Buat ruas garis yang melalui titik B dan A', kemudian titik A' dan C', ruas garis tersebutlah sketsa penerbangan dari pesawat tersebut, untuk jaraknya buat ruas garis yang melalui titik B dan C'.



Untuk dimengerti bahwa pada saat membuat sudut pada jurusan tiga angka ini gunakan perintah "angle with given".
Selamat mencoba......